接束

$TM$の構成

$X$を$n$次元ハウスドルフ実多様体とすると，$X$の各点$p$ごとに$n$次元$\mathbb{R}$上ベクトル空間$T_pX$が定められている．
$$TX:=\bigsqcup_{p\in X}T_pX$$
とおき，$\pi\colon TM\rightarrow X$を射影とする．$X$のアトラス$\{(U_i,\varphi_i)\}_{i\in I}$から全単射の族$\{\psi_i\colon TM\vert_{U_i}\rightarrow U_i\times\mathbb{R}^n\}_{i\in I}$を次のように作る：
\begin{align}
\begin{matrix}
\psi_i(\alpha)=(p,\varphi_{i,*,p}(\alpha)) & (p\in U_i, \alpha\in T_pX)
\end{matrix}
\end{align}
ただし$\varphi_{i,*,p}$とは
\begin{align}
&T_pX \rightarrow T_pU_i\\
&T_pU_i \rightarrow T_{\varphi_i(p)}\varphi_i(U_i)\\
&T_{\varphi_i(p)}\varphi_i(U_i) \cong \mathbb{R}^n
\end{align}
の合成である．この3つの射に関しては次参照：
pollymath.hatenablog.com
さてこのとき$U_{ij}\times\mathbb{R}^n$上で
$$(\psi_j\circ\psi_i^{-1})(p,v)=(p,\left(\partial_l(\varphi_j\circ\varphi_i^{-1})_k(\varphi_i(p))\right)_{k,l}v)$$
と書けている．ただし$\left(\partial_l(\varphi_j\circ\varphi_i^{-1})_k\right)_{k,l}$は$\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}$のヤコビアンである．証明は次参照．
pollymath.hatenablog.com
以上より族$\{\psi_i\colon TM\vert_{U_i}\rightarrow U_i\times\mathbb{R}^n\}_{i\in I}$は次のリンク先の命題の仮定を満たしている．
pollymath.hatenablog.com
よって$TM$は$X$上のベクトル束になる．