inductive dimension, covering dimension: 関係
このページは Engelking, "Dimension Theory" による．
$\operatorname{ind} X$, $\operatorname{Ind} X$, $\operatorname{dim} X$ の定義は↑
定理 1
(Engelking, Dimension Theory, 2.4.4 の仮定を変えた版)
従属選択公理の下で次が成り立つ：
$X$ が$T_1$，第二可算，全部分正規空間なら， $\operatorname{Ind} X \le \operatorname{ind} X$.
定理 2
(Engelking, Dimension Theory, Theorem 3.1.28)
$X$ が正規空間なら， $\operatorname{dim} X \le \operatorname{Ind} X$.
inductive dimension, covering dimension: 定義
このページは Engelking, "Dimension Theory" による．
定義 1
(Engelking, Dimension Theory, Definition 1.1.1)
正則空間$X$の small inductive dimension $\operatorname{ind} X$ を次のように帰納的に定める：
- $\operatorname{ind} X = -1 \Leftrightarrow X = \varnothing$
- $n \ge 0$ のとき $\operatorname{ind} X \le n$ とは次が成り立つこととする： 任意の $x \in X$ とその開近傍 $V \subset X$ に対して，ある開集合 $U \subset X$ で $x \in U \subset V$ かつ $\operatorname{ind} \partial U \le n - 1$ を満たすものが存在する．
定義 2
(Engelking, Dimension Theory, Definition 1.6.1)
正規空間$X$の large inductive dimension $\operatorname{Ind} X$ を次のように帰納的に定める：
- $\operatorname{Ind} X = -1 \Leftrightarrow X = \varnothing$
- $n \ge 0$ のとき $\operatorname{Ind} X \le n$ とは次が成り立つこととする： 任意の閉集合 $A \in X$ とその開近傍 $V \subset X$ に対して，ある開集合 $U \subset X$ で $A \subset U \subset V$ かつ $\operatorname{Ind} \partial U \le n - 1$ を満たすものが存在する．
定義 3
(Engelking, Dimension Theory, Definition 1.6.7)
正規空間$X$の covering dimension $\operatorname{dim} X$ を次のように定める：
- $n \ge -1$ のとき $\operatorname{dim} X \le n$ とは次が成り立つこととする： $X$ の任意の有限開被覆に対してその有限細分で order が $n$ 以下のものが存在する．
但し $X$ の被覆 $\mathcal{A}$ に対してその order が $n$ 以下とは $\mathcal{A}$ に含まれる相異なる $n + 2$ 個の開集合 が任意に与えられたとき，その共通部分が$\varnothing$になることをいう．
1の分割
定理
ハウスドルフ第二可算実多様体$X$は任意の開被覆$\{U_i\}_{i\in I}$に対してこれに従属する滑らかな1の分割を持つ．すなわち滑らかな関数の族$\{\lambda_j\}_{j\in J}$であって，
- $0\leq\lambda_j\leq 1$
- 任意の$j\in J$に対してある$U_{i(j)}\in\{U_i\}_{i\in I}$が存在して$\operatorname{supp}\lambda_j\subset U_{i(j)}$を満たす．
- 任意の$x\in X$に対して$x$のある開近傍$W$が存在して，有限個の$j$を除いて$\lambda_j\vert_{W}=0$が成り立つ．
- $\sum_j\lambda_j=1$
を満たすものが存在する．
証明
pollymath.hatenablog.com
上記ページにより$X$はリンデレフである．可算な相対コンパクト開被覆$\{V_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が存在する．
pollymath.hatenablog.com
上記ページの証明により整数の増大列$0 < n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$で
\[\bigcup_{k=1}^{n_j}V_k \supset \bigcup_{k=1}^{n_{j-1}}\overline{V_k}\]
を満たすものがある．$j\leq 0$に対しては$n_j=0$とみなすことで
\begin{align}
W_j &= \bigcup_{k=1}^{n_{j+1}}V_k - \bigcup_{k=1}^{n_{j-2}}\overline{V_k} \\
K_j &= \bigcup_{k=1}^{n_j}\overline{V_k} - \bigcup_{k=1}^{n_{j-1}}V_k
\end{align}
とおくと$K_j\subset W_j$である．さらに$\{W_j\}_j$は局所有限であり，$\{K_j\}_j$は$X$を覆う．
$K_j$の任意の点$a\in K_j$と$a$を含む$U_i$に対して次の定理を使う．
pollymath.hatenablog.com
このときなめらかな$f_{j,a}\colon X\rightarrow\mathbb{R}$であって$f_{j,a}\geq 0$かつ$f_{j,a}(a)>0$かつ$\operatorname{supp} f_{j,a} \subset U_i\cap W_j$が成り立つものが存在する．$K_j$はコンパクトなので有限個の点からなる集合$A_j\subset K_j$を選んで$\sum_{a\in A_j}f_{j,a}\vert_{K_j} > 0$とできる．また$\{W_j\}_j$が局所有限であることより，$\{f_{j,a}\}_{a\in A_j}$の合併$\{f_{j,a}\}_{j\in\mathbb{N}, a\in A_j}$は局所的には有限個を除いて$0$である．新しく$g_{j,a}=f_{j,a}/\sum_{j',a'}f_{j',a'}$とおけば族$\{g_{j,a}\}$が定理を満たす．$\square$
パラコンパクト空間
定義
$X$を位相空間とし，$\{U_i\}_{i\in I}$, $\{V_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$を開集合族とする．
命題
従属選択公理の下で，ハウスドルフ局所コンパクトリンデレフ空間はパラコンパクトである．
証明
$\{U_i\}_{i\in I}$を任意の開被覆とする．各$x\in X$ごとに相対コンパクトな開近傍$V_x$でどれかの$U_i$に含まれるようなものが取れる．$X$はリンデレフなので，$V_x$から可算個選んで$\{V_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が$X$を覆うとしてよい．
$n_0=0$と定義し，自然数の増大列$0 < n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$を
\[\bigcup_{k=1}^{n_j}V_k \supset \bigcup_{k=1}^{n_{j-1}}\overline{V_k}\]
を満たすように帰納的に定義する．$\bigcup_{k=1}^{n_{j-1}}\overline{V_k}$はコンパクトだからこれは可能である．
$\{V_l\setminus\bigcup_{k=1}^{n_{j-1}}\overline{V_k}\mid l,j\in\mathbb{N}, 1\leq l\leq n_{j+1}\}$は局所有限でかつ$\{U_i\}_{i\in I}$の細分になっている．これが$X$を覆うことを示そう．$x\in X$とする．$x\notin\bigcup_{k=1}^{n_{j-1}}\overline{V_k}$かつ$x\in\bigcup_{k=1}^{n_j}\overline{V_k}$となる$j\in\mathbb{N}$をとる．$n_{j+1}$の定め方により$x\in\bigcup_{k=1}^{n_{j+1}}V_k$が成り立つ．$\square$
第二可算空間，リンデレフ空間
定義
$X$を位相空間とする．
- $X$が高々可算な開基を持つとき，$X$は第二可算公理を満たすという．
- $X$の任意の開被覆$\{U_i\}_{i\in I}$に対して，その高々可算な部分集合が再び$X$を覆うとき$X$はリンデレフという．
命題
証明
topospaces.subwiki.org
証明は↑による．
$\{B_n\}_{n \in \mathbb{N}}$を位相空間$X$の可算な開基とし，$\{U_i\}_{i\in I}$を$X$の開被覆とする．各$B_n$に対し，$B_n\subset U_j$なる$j$が存在する場合は$U_n\colon=U_j$とし，そうでないなら$U_n\colon=\varnothing$と定義する．族$\{U_n\}_n$が$X$を覆うことを示そう．$x\in X$のとき，$x\in B_n \subset U_i$となる$i$, $n$を$i$, $n$の順に選ぶ．$U_n$は$U_i$と一致するとは限らないが少なくとも$\varnothing$ではなく$B_n$を含むので，$x\in\bigcup_{n'}U_{n'}$が分かる．$\square$
族$\{U_n\}_n$を取るところで可算選択公理を使った．
位相空間の次元
定義命題
$X$を$\varnothing$でない位相空間とする．次は同値．
- $X$の閉部分集合$X_1$, $X_2$で$\varnothing\neq X_1 \subsetneq X$かつ$\varnothing\neq X_2 \subsetneq X$かつ$X=X_1\cup X_2$となるものが存在しない．
- $X$の$\varnothing$でない任意の開部分集合$U$は稠密．
- $X$の$\varnothing$でない任意の開部分集合$U$は連結．
上記同値命題を満たすとき，$X$は既約であるという．
証明
1. $\Longleftrightarrow$ 2.
$U_i=X-X_i$とおけば，1.と2.は共に$X$の空でない2つの開部分集合が交わるということを意味する．
2. $\implies$ 3.
$\varnothing\neq U\subset X$を開とし，$V_1, V_2$を$U$の$\varnothing$でない開部分集合とすると，$V_1, V_2$は$X$の開部分集合でもあるので2.より$V_1 \cap V_2 \neq \varnothing$．よって$U$は連結．
3. $\implies$ 2.
対偶を示す．開であって交わらない$U, V\neq\varnothing$をとる．このとき$U \cup V$は$X$の$\varnothing$でない開部分集合であって，連結でない．$\square$
命題
証明
1. $U$は$X$内で稠密なので，2. より$U$は既約である．
2. $X$の開部分集合$U$に対して，$U\cap Y\neq\varnothing$と$U\cap\overline{Y}\neq\varnothing$が同値になるので
\begin{align}
&\forall U, V\subset X,\,U\cap Y\neq\varnothing\, \text{and}\ V\cap Y\neq\varnothing\implies U\cap V\cap Y\neq\varnothing\\
&\Longleftrightarrow\forall U, V\subset X,\,U\cap \overline{Y}\neq\varnothing\, \text{and}\ V\cap\overline{Y}\neq\varnothing\implies U\cap V\cap\overline{Y}\neq\varnothing
\end{align}
より従う．$\square$
定義命題
$X$は位相空間とする．$X$が noetherian であるとは次の同値な条件を満たすこと．
- すべての開部分集合$U \subset X$はコンパクト．
- 閉部分集合からなる空でない族は必ず極小元を持つ．
証明
1. $\implies$ 2.
開部分集合からなる空でない族$\mathcal{V}$があるとし，$\{U_\alpha\}\subset\mathcal{V}$を増大する全順序部分族とすると，$U=\bigcup_\alpha U_\alpha$がコンパクトであることよりある$\alpha_0$を取って$U=U_{\alpha_0}$とできる．Zornの補題より$\mathcal{V}$は極大元を持つ．
2. $\implies$ 1.
$\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$を開集合からなる族とし$U=\bigcup_{\alpha\in A} U_\alpha$とする．$U\neq\varnothing$ならば
$$ \mathcal{V}=\left\{U_{\alpha_0}\cup\cdots\cup U_{\alpha_n}\mid\alpha_0,\ldots\alpha_n\in A\right\}$$
の極大元が$U$に一致する．$\square$
定義命題
$X$を空でない位相空間とする．$X$の空でない既約な閉部分集合のうち極大なものがあれば，それを$X$の既約成分という．次が成立．
- $X$の空でない既約な閉部分集合は，必ず$X$のある既約成分に含まれている．
- $X$の既約成分は$X$を覆う．
証明
1.
$Y$を$X$の空でない既約な閉部分集合とする．
$$\mathcal{Z} = \left\{ Z \mid \text{ $Y \subset Z \subset X$, 既約かつ閉} \right\}$$
とおけば$Y \in \mathcal{Z}$より$\mathcal{Z} \neq \varnothing$である．
$\mathcal{Z}$の$\varnothing$でない全順序部分集合$\{ Z_\alpha \}_\alpha$があるとき，$Z=\bigcup_\alpha Z_\alpha$とおく．開な$U$, $V$が$Z \cap U \neq \varnothing$かつ$Z \cap V \neq \varnothing$をみたしているとき，$Z_\beta \cap U \neq \varnothing$かつ$Z_\beta \cap V \neq \varnothing$となるような添え字$\beta$が存在する．$Z_\beta$は既約より先の定義命題により$Z_\beta \cap U \cap V \neq \varnothing$である．よって$Z \cap U \cap V \neq \varnothing$であるから再び先の定義命題により$Z$は既約である．したがって先の命題により$\overline{Z} \in \mathcal{Z}$が言えた．Zornの補題より$\mathcal{Z}$には極大元が存在する．
2. 1. において$Y=\overline{\{x\}}$とすればオッケー．$\square$
定義命題
$X$を$\varnothing$でない位相空間とするとき，$n$個の既約閉集合 からなる真上昇列$F_0 \subsetneq F_1 \subsetneq \cdots \subsetneq F_n$が存在するような$n$の上限を$\dim X$で表す．
$x \in X$に対して
$$
\dim_x X = \inf \left\{ \dim U \mid \text{$U$は$x$の開近傍} \right\}
$$
と定義する．このとき，$\varnothing$でない位相空間$X$に対し次が成立する．
- $\dim X = \sup_{x \in X} \dim_x X$
- 写像 $ x \mapsto \dim_x X$は上半連続である．
- $X$ の既約成分が有限個であるとき， $X_1 , \cdots , X_m $ を$X$のすべての既約成分とすると，$$\dim X = \max_{1 \leq i \leq m } \dim X_i$$
- $\varnothing\neq Y\subset X$を部分空間とするとき$\dim Y\leq \dim X$
- $X$の空でない開集合からなる族$\{U_i\}$が$X$を覆うならば$\dim X=\sup_i \dim U_i$
証明
1.
$x \in X$に対して，定義より，
$$
\dim_x X \leq \dim X
$$
よって$\sup_{x \in X} \dim_x X \leq \dim X$である．$n$個の既約閉集合からなる真上昇列$F_0 \subsetneq F_1 \subsetneq \cdots \subsetneq F_n$が存在するとする．$y$を$F_0$の元とし，$U$を$y$の開近傍とする．先の定義命題より $U \cap F_i$ は 既約かつ $U$ 内で閉である．さらにある$k$で$U \cap F_k = U \cap F_{k+1}$であると仮定する．
\begin{align*}
F_{k+1} &= (U \cap F_{k+1}) \cup (F_{k+1} \setminus U) \\
&= (U \cap F_{k}) \cup (F_{k+1} \setminus U) \\
&= F_{k} \cup (F_{k+1} \setminus U)
\end{align*}
よって$F_{k+1}$を2つの 閉集合 の和$F_k \cup (F_{k+1} \setminus U)$に分解できる．$F_{k+1}$が 既約であることより$F_{k+1} \setminus U = F_{k+1}$となる．これは矛盾．
よって真上昇列$U \cap F_0 \subsetneq U \cap F_1 \subsetneq \cdots \subsetneq U \cap F_n$を得る．$U$は$y$の任意の開近傍であったので，
$$
\dim_y X \geq n
$$
である．よって$\sup_{x \in X} \dim_x X \geq n$より$\sup_{x \in X} \dim_x X = \dim X$ となる．
2.
写像$f \colon X \longrightarrow \mathbb{Z}_{\geq 0}\cup\{\infty\}$を$f(x)=\dim_x X$で定義する．$f$が上半連続であるとは任意の点$x_0 \in X$に対して，
$$
\limsup_{x \rightarrow x_0} f(x) = \inf_{U} \sup_{x \in U} f(x) \leq f(x_0)
$$
が成り立つことをいう．ただし$U$は$x_0$のすべての開近傍を渡る．$U$を$x_0$の開近傍とし，$x$を$U$の任意の点とするとき定義により
$$
\dim_x U \geq \dim_x X
$$
である．このことと1. により，
\begin{align*}
\inf_{U} \sup_{x \in U} f(x)
&= \inf_{U} \sup_{x \in U} \dim_x X \\
&\leq \inf_{U} \sup_{x \in U} \dim_x U \\
&= \inf_{U} \dim U \\
&= \dim_{x_0} X
\end{align*}
よって示された．
3.
既約閉集合 からなる真上昇列$F_0 \subsetneq F_1 \subsetneq \cdots \subsetneq F_n$が存在するとき，$F_n$はどれかの$X_i$に含まれている．
4.
$Y$の真に増大する既約な閉部分集合$F\subsetneq F'$があったとする．$Y$内で取った閉包を$\operatorname{Cl}_Y(-)$, $X$内で取った閉包を$\operatorname{Cl}_X(-)$と書いて区別すると，$\operatorname{Cl}_X(F)$と$\operatorname{Cl}_X(F')$は$X$の既約な閉部分集合である．$F=\operatorname{Cl}_Y(F)=\operatorname{Cl}_X(F)\cap Y$, $F'=\operatorname{Cl}_X(F')\cap Y$より，真の包含$\operatorname{Cl}_X(F)\subsetneq\operatorname{Cl}_X(F')$が成り立つ．
5.
4. より$\sup_i\dim U_i \leq\dim X$が成り立つ．一方$n$個の$X$の既約な閉部分集合からなる真上昇列$F_0 \subsetneq F_1 \subsetneq \cdots \subsetneq F_n$が存在するとする．$i'$を$U_{i'}\cap F_0\neq\varnothing$となるように選べば1. の証明より$n\leq\dim U_{i'}\leq\sup_i\dim U_i$である．よって従う．$\square$
