調号の規則
一方で "C major, F major, Bb major, ..." と音階が5度ずつ下がっていくとき，調号は "b0, b1, b2, ..." と変化する．
このことを説明する．
定義
写像$s\colon\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$全体の集合を$S$で表す．$S$には$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$の群演算を用いて群構造が入る．
元$s\in S$を，$s(0)$から$s(6)$までを順に書き並べて
$$s=(s(0),\ldots,s(6))$$
と書き表すことにする．この記法の下，特別な元$C\in S$を
$$C=(0,2,4,5,7,9,11)$$
で定義する．
ここで$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$とは半音階のことであり，$C$の定義はC majorがC, D, E, F, G, A, Bからなることを表している．
定義
- $n\in\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$に対して，同じ記号の$n\in S$を$$n=(n,n,n,n,n,n,n)$$のこととする．
- $m\in\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$, $s\in S$に対して$m^*s\in S$を$$(m^*s)(x)=s(x+m)$$にて定義する．
$m,l\in\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$, $s,t \in S$に対して，
\begin{align}
&(m+l)^*s=m^*l^*s\\
&m^*(s+t)=m^*s+m^*t
\end{align}
が成り立っている．($\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$が$S$に成分の左平行移動で作用している)
この記法によれば，
\begin{align}
\begin{array}{ll}
4^*C=(7,9,11,0,2,4,5) & (\text{G mixolydian})\\
C+7=(7,9,11,0,2,4,6) & (\text{G major})
\end{array}
\end{align}
と書ける．辺々引いて得られる$C+7-4^*C=(0,0,0,0,0,0,1)$という式は，G majorではGから見て第7音であるFに#が付いているという意味である．
この両辺を4つ右に平行移動すると
$$(-4)^*(C+7-4^*C)=(0,0,0,1,0,0,0)$$
を得る．これはCから見て第4音にあるFに#が付いていることを表す．
G majorの調号がこのようにして得られた．これを一般化したのが次の命題である．
命題
証明
同様にフラット系の音階についても考えよう．2つの音階
\begin{align}
\begin{array}{ll}
(-4)^*C=(5,7,9,11,0,2,4) & (\text{F lydian})\\
C-7=(5,7,9,10,0,2,4) & (\text{F major})
\end{array}
\end{align}
の差$C-7-(-4)^*C=(0,0,0,-1,0,0,0)$は，F majorではFから見て第4音であるBにbが付いているという意味である．
この両辺を4つ左に平行移動すると
$$4^*(C-7-(-4)^*C)=(0,0,0,0,0,0,-1)$$
を得る．これはCから見て第7音にあるBにbが付いていることを表す．
F majorの調号が得られたので，一般化した次の命題を得る．
命題
証明
有限群の既約表現の指標の直交関係式
約束
$G$:有限群
$L$, $M $:有限次元$\mathbb{C}[G]$-加群
定義
- $c(h^{-1}gh)=c(g)$を満たす写像$c\colon G\rightarrow\mathbb{C}$を類関数といい，$G$上の類関数全体の集合を$C(G)$で表す．
- 類関数$\operatorname{ch}(M)\in C(G)$を$\operatorname{ch}(M)(g)=\text{($g$の$M $への作用のtrace)}$で定義する．これを$M $の指標という．
定義命題1
$L$から$M $への線形写像のなす空間$\operatorname{Hom}(L,M)$に$G$-作用を
\begin{align}
(gf)(v)=gf(g^{-1}v)
\end{align}
で定義すると，これは作用になっていて
$$\operatorname{ch}(\operatorname{Hom}(L,M))=\overline{\operatorname{ch}(L)}\operatorname{ch}(M)$$
が成り立つ．さらに任意の$\mathbb{C}[G]$-加群$V$に対して，$V$の固定化部分群を$V^G$と書くとき，$$\operatorname{Hom}(L,M)^G=\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}[G]}(L,M)$$が成り立つ．
証明
- 作用になっていること
$g,h\in G$, $f\in\operatorname{Hom}(L,M)$, $v\in L$に対して
\begin{align}
(h(gf))(v)=h(gf)(h^{-1}v)=hgf(g^{-1}h^{-1}v)=((hg)f)(v)
\end{align}
が成り立つ．
- 指標の式
$L$の$G$-不変な内積を一つ取って固定し，$L$の正規直交基底$\{v_i\mid i=1,\ldots,l\}$をとる．その双対基底は$\{v^*_i=\langle v_i,-\rangle\mid i=1,\ldots,l\}$である．また$M $の基底$\{u_j\mid j=1,\ldots,m\}$も取る．
$\{v^*_i\otimes u_j\mid 1\leq i\leq l,1\leq j\leq m\}\subset\operatorname{Hom}(L,M)$は基底をなしていて，この基底に関して$g\in G$の作用を行列表示することを考える．
\begin{align}
(g\cdot(v^*_i\otimes u_j))(v)&=\langle v_i,g^{-1}v\rangle gu_j\\
&=\langle g v_i,v\rangle gu_j
\end{align}
$gv_i=\sum_sa_{s,i}v_k$, $gu_j=\sum_tb_{t,j}u_t$と書けば
\begin{align}
\text{(続き)}&=\langle\sum_sa_{s,i}v_s,v\rangle\sum_tb_{t,j}u_t\\
&=\sum_{s,t}\overline{a_{s,i}}b_{t,j}\langle v_s,v\rangle u_t
\end{align}
よって$g\cdot(v^*_i\otimes u_j)$の$v^*_i\otimes u_j$成分は$\overline{a_{i,i}}b_{j,j}$である．$i$, $j$に関して和を取ることで，
$$\operatorname{ch}(\operatorname{Hom}(L,M))(g)=\overline{\operatorname{ch}(L)(g)}\operatorname{ch}(M)(g)$$
を得る．
- 最後の式
線形写像$f\colon L\rightarrow M $に対して，$f$が$G$-作用で不変とすると，任意の$g\in G$, $v\in L$に対して$gf(g^{-1}v)=f(v)$が成り立つので，
\begin{align}
f(gv)=gg^{-1}f(gv)=gf(v)
\end{align}
となる．一方$f$が$\mathbb{C}[G]$-加群の射であれば，逆に辿って$f$が$G$-作用で不変であることが分かる．$\square$
命題2
以下$L$, $M $は単純加群とする．このとき
$$\dim\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}[G]}(L,M)=
\begin{cases}
1 & \text{($L\cong M $)}\\
0 & \text{(otherwise)}
\end{cases}$$が成り立つ(Schurの補題)．
加えて線形空間$\operatorname{Map}(G,\mathbb{C})$の元$a,b$に対して$$\langle a, b\rangle:=\sum_{g\in G}\overline{a(g)}b(g)$$と定義すると
$$
\langle\operatorname{ch}(L),\operatorname{ch}(M)\rangle=
\begin{cases}
1 & \text{($L\cong M $)}\\
0 & \text{(otherwise)}
\end{cases}
$$
が成り立つ．
証明
- 前半
$\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}[G]}(L,M)\neq0$とすると，non-zeroな射$f\colon L\rightarrow M $が取れる．$L$, $M $が単純より$\ker f=0$かつ$\operatorname{im} f=M $となって$L\cong M $が言える．
任意の$f\colon L\rightarrow L$を取ると，少なくとも一つの固有値$\lambda$が存在する．$f-\lambda$の核は$0$ではないので，自動的に$L$に一致する．よって$f=\lambda$である．
- 後半
\begin{align}
\langle\operatorname{ch}(L),\operatorname{ch}(M)\rangle
&=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\overline{\operatorname{ch}(L)(g)}\operatorname{ch}(M)(g)\\
&=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\operatorname{ch}(\operatorname{Hom}(L,M))(g)
\end{align}
一方で
\begin{align}
\dim\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}[G]}(L,M)=\dim\operatorname{Hom}(L,M)^G
\end{align}
であるから，次の命題より従う．$\square$
命題3
$V$を有限次元$\mathbb{C}[G]$-加群とするとき，$$\dim V^G=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\operatorname{ch}(V)(g)$$が成り立つ．
証明
線形写像$p\colon V\rightarrow V$を$p(v)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}gv$で定義する．$\operatorname{im}p\subset V^G$が成り立つ．さらに任意の$w\in V^G$に対しては$p(w)=w$が成り立つので，$\operatorname{im}p=V^G$と$p^2=p$が成り立つ．よって$p$は$V$から$V^G$への射影であり，そのトレースを考えれば
$$\dim V^G=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\operatorname{ch}(V)(g)$$
が成り立つ．$\square$
有限群の複素表現は完全可約
命題
$G$を有限群とし，$\mathbb{C}[G]$で$G$の$\mathbb{C}$上の群環を表すものとする．
$M $を有限次元$\mathbb{C}[G]$-加群とするとき，$M $には$G$-不変な内積がある．
証明
ベクトル空間の同型$M\cong \mathbb{C}^n$により，$M $は内積を少なくとも一つは持つ．
この内積を$\langle\cdot,\cdot\rangle$と書く．$u,v\in M $に対して
\begin{align}
\langle u,v\rangle_G:=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\langle gu,gv\rangle
\end{align}
とおくことで，これが求める$G$-不変な内積になる．
非退化性だけ示す．$u\in M $が任意の$v\in M $に対して$\langle u,v\rangle_G=0$を満たしたとすると，
\begin{align}
\langle u,u\rangle_G=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\langle gu,gu\rangle=0
\end{align}
より$u=0$が従う．$\square$
系
$M $を有限次元$\mathbb{C}[G]$-加群とするとき，$M $は完全可約である．
Hom関手と層化関手
命題
$(X,\mathcal{O}_X)$を環付き空間，$\mathcal{P}$を$\mathcal{O}_X$-加群前層，$\mathcal{Q}$を$\mathcal{O}_X$-加群層とすると同型
\begin{align}
a\operatorname{\mathcal{Hom}}(\mathcal{P},\mathcal{Q})\cong\operatorname{\mathcal{Hom}}(a\mathcal{P},\mathcal{Q})
\end{align}
が成り立つ．但し$a$は前層を層化する関手を表す．さらに$\mathcal{P}$,$\mathcal{Q}$に関して自然である．
証明
層化と制限は交換するので，開集合$U\subset X$に対して$\mathcal{P}\vert_U\rightarrow a\mathcal{P}\vert_U$を合成する射
\[
\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_U}(a\mathcal{P}\vert_U,\mathcal{Q}\vert_U)\rightarrow\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{P}\vert_U,\mathcal{Q}\vert_U)
\]
は同型である．よって同型射$\operatorname{\mathcal{Hom}}(a\mathcal{P},\mathcal{Q})\rightarrow\operatorname{\mathcal{Hom}}(\mathcal{P},\mathcal{Q})$ができた．特に$\operatorname{\mathcal{Hom}}(\mathcal{P},\mathcal{Q})$が層になることが分かる．自然性の証明は略．$\square$
$\operatorname{\mathcal{Hom}}(\mathcal{P},\mathcal{Q})$は$\mathcal{P}$が前層でも$\mathcal{Q}$が層なら層になる．
pollymath.hatenablog.com
このページの命題の証明において$\mathcal{M}$が層であることは使っていない．
ベクトル束の演算と局所自由層の演算は可換
命題
$X$を実多様体，$E$,$F$を$X$上のベクトル束とする．次の自然同型がある:
- $\mathcal{O}_X\left(\operatorname{Hom}(E,F)\right)\cong\mathcal{Hom}(\mathcal{O}_X(E),\mathcal{O}_X(F))$
- $\mathcal{O}_X\left(\bigwedge^rE\right)\cong\bigwedge^r\mathcal{O}_X(E)$
- $\mathcal{O}_X\left(E\otimes F\right)\cong\mathcal{O}_X(E)\otimes\mathcal{O}_X(F)$
証明
1. ここではHom束を$\underline{\operatorname{Hom}}(E,F)$で，ベクトル束の射の集合を$\operatorname{Hom}_{\mathbf{Vect}}(E,F)$で表す．
$\Gamma(U,\underline{\operatorname{Hom}}(E,F))=\left\{g\colon U\rightarrow\bigsqcup_{x\in U}\operatorname{Hom}(E_x,F_x)\mid\text{smooth section}\right\}$であることを思い出しておく．これは$\operatorname{Hom}_{\mathbf{Vect}}(E\vert_U,F\vert_U)$と同一視できる．実際$g\colon U\rightarrow\bigsqcup_{x\in U}\operatorname{Hom}(E_x,F_x)$を滑らかなセクションとするとき，ベクトル束の射$\tilde{g}\colon E\vert_U\rightarrow F\vert_U$を$(x,v)\mapsto (x,g(x)(v))$にて定義すれば，$g\mapsto\tilde{g}$は全単射になる．さらに$\operatorname{Hom}_{\mathbf{Vect}}(E\vert_U,F\vert_U)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_X(E)\vert_U,\mathcal{O}_X(F)\vert_U)$であったから表題の同型が成り立つ．
2.
pollymath.hatenablog.com
$E=X\times\mathbb{R}^p$の場合は上のリンク先の命題より成り立つ．一般の$E$について考える．$\Gamma(U,\bigwedge^rE)=\left\{s\colon U\rightarrow\bigsqcup_{x\in X}\bigwedge^rE_x\mid\text{smooth section}\right\}$であることを思い出しておく．
射
$$\bigwedge^r_{\Gamma(U,\mathcal{O}_X)}\Gamma(U,E)\rightarrow\bigwedge^rE_x$$
より射$\bigwedge^r_{\Gamma(U,\mathcal{O}_X)}\Gamma(U,E)\rightarrow\Gamma(U,\bigwedge^rE)$を誘導する．さらにここから層の射$\bigwedge^r\mathcal{O}_X(E)\rightarrow\mathcal{O}_X\left(\bigwedge^rE\right)$を誘導する．
$U$を$E$の局所自明化近傍とするとこの射は$U$に制限すると同型になる．自明化$U$は$X$を覆うので$X$全体でも同型になる．
3.
$E=X\times\mathbb{R}^p$かつ$F=X\times\mathbb{R}^q$の場合は上のリンク先の命題より成り立つ．一般の$E$, $F$について考える．$\Gamma(U,E\otimes F)=\left\{s\colon U\rightarrow\bigsqcup_{x\in X}E_x\otimes F_x\mid\text{smooth section}\right\}$であることを思い出しておく．
射
$$\Gamma(U,E)\otimes_{\Gamma(U,\mathcal{O}_X)}\Gamma(U,F)\rightarrow E_x\otimes F_x$$
より射$\Gamma(U,E)\otimes_{\Gamma(U,\mathcal{O}_X)}\Gamma(U,F)\rightarrow\Gamma(U,E\otimes F)$を誘導する．さらにここから層の射$\mathcal{O}_X(E)\otimes\mathcal{O}_X(F)\rightarrow\mathcal{O}_X(E\otimes F)$を誘導する．
$U$を$E$, $F$の局所自明化近傍とするとこの射は$U$に制限すると同型になる．自明化$U$は$X$を覆うので$X$全体でも同型になる．$\square$
局所自由層の射
補題
$X$をハウスドルフ実多様体，$E$, $F$をベクトル束とし，$\varphi\in\operatorname{Hom}_{\Gamma(X,\mathcal{O}_X)}(\Gamma(X,E),\Gamma(X,F))$とする．$x\in X$を一つ取って固定する．
このとき$s\in\Gamma(X,E)$が$s(x)=0$を満たすなら，$\varphi(s)(x)=0$である．
証明
まず$s$が$x$の近傍で$0$となる場合は，次より$\varphi(s)(x)=0$である．
pollymath.hatenablog.com
実際$s$が$x$の開近傍$U$上で$0$を取ると仮定すると，上のリンク先の定理より$\lambda\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$で$\lambda(x)=1$かつ$U$の外で$0$となるものが取れて
\begin{align}
0=\varphi(\lambda s)(x)=\varphi(s)(x)
\end{align}
となるからである．次に$s(x)=0$であって近傍で$0$とは限らないときを考える．$x$まわりの$E$の自明化近傍かつ$X$のチャートであるような$U$を取り，$x$の相対コンパクト(閉包がコンパクト)な開近傍$V$で$K:=\overline{V}\subset U$となるものを取る．再び上のリンク先の定理より，$\lambda\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$で$\lambda\vert_K\equiv 1$かつ$\operatorname{supp}(\lambda)\subset U$となるものが取れる．$E\vert_U$のフレーム$v_1,\ldots,v_r$を取り，$s\vert_U=\sum_if_iv_i$と書く．$f_i$, $v_i$のそれぞれに$\lambda$を掛けて$X$上に延長したものを同じ記号であらわすと，2つの大域切断$s$, $\sum_if_iv_i$は$K$上では一致している．今$s(x)=0$であり$v_1(x),\ldots,v_r(x)$は線形独立であるから，$f_1(x)=\cdots=f_r(x)=0$である．よって
\begin{align}
\varphi(s)(x)=\sum_if_i(x)\varphi(v_i)(x)=0
\end{align}
となる．$\square$
命題
$X$をハウスドルフ実多様体，$\mathcal{M}$,$\mathcal{N}$を$X$上有限階数局所自由層とする．次の自然同型がある:
$$\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{M},\mathcal{N})\cong\operatorname{Hom}_{\Gamma(X,\mathcal{O}_X)}(\Gamma(X,\mathcal{M}),\Gamma(X,\mathcal{N}))$$
証明
$E$, $F$をベクトル束とし，$\mathcal{M}=\mathcal{O}_X(E)$, $\mathcal{N}=\mathcal{O}_X(F)$とする．
$\varphi\in\operatorname{Hom}_{\Gamma(X,\mathcal{O}_X)}(\Gamma(X,E),\Gamma(X,F))$に対して$\overline{\varphi}\in\operatorname{Hom}(E,F)$を
\begin{CD}
\Gamma(X,E) @>{\varphi}>> \Gamma(X,F)\\
@VVV @VVV\\
E_x @>{\overline{\varphi}_x}>> F_x
\end{CD}
を可換にする$\overline{\varphi}_x$を束ねて作る．$\overline{\varphi}_x$のwell-definednessは上の補題より従う．
こうして作った$\overline{\varphi}$が滑らかであることを示すために，任意の$x\in X$に対して$x$の周りで定義された滑らかなセクション$s\in\Gamma(U,E)$と$\overline{\varphi}$の合成が$U$より狭い$x$の開近傍で滑らかなセクションになることを示す．$s$の定義域$U$は小さく取り直して，$x$まわりの$E$の自明化近傍かつ$X$のチャートであるとしてよい．このとき上の補題の証明より$s$に依存しない$V$があって$s\vert_V$は$X$上に延長できる．よって$V$上では$\overline{\varphi}\circ s=\varphi(s)$となっていてこれは滑らかである．よって$\overline{\varphi}$は滑らかである．$\varphi\mapsto\overline{\varphi}$が全単射であることは省略．自然性の証明も省略．$\square$
