ベクトル束の演算と局所自由層の演算は可換



命題

$X$を実多様体,$E$,$F$を$X$上のベクトル束とする.次の自然同型がある:

  1. $\mathcal{O}_X\left(\operatorname{Hom}(E,F)\right)\cong\mathcal{Hom}(\mathcal{O}_X(E),\mathcal{O}_X(F))$
  2. $\mathcal{O}_X\left(\bigwedge^rE\right)\cong\bigwedge^r\mathcal{O}_X(E)$
  3. $\mathcal{O}_X\left(E\otimes F\right)\cong\mathcal{O}_X(E)\otimes\mathcal{O}_X(F)$
証明

1. ここではHom束を$\underline{\operatorname{Hom}}(E,F)$で,ベクトル束の射の集合を$\operatorname{Hom}_{\mathbf{Vect}}(E,F)$で表す.
$\Gamma(U,\underline{\operatorname{Hom}}(E,F))=\left\{g\colon U\rightarrow\bigsqcup_{x\in U}\operatorname{Hom}(E_x,F_x)\mid\text{smooth section}\right\}$であることを思い出しておく.これは$\operatorname{Hom}_{\mathbf{Vect}}(E\vert_U,F\vert_U)$と同一視できる.実際$g\colon U\rightarrow\bigsqcup_{x\in U}\operatorname{Hom}(E_x,F_x)$を滑らかなセクションとするとき,ベクトル束の射$\tilde{g}\colon E\vert_U\rightarrow F\vert_U$を$(x,v)\mapsto (x,g(x)(v))$にて定義すれば,$g\mapsto\tilde{g}$は全単射になる.さらに$\operatorname{Hom}_{\mathbf{Vect}}(E\vert_U,F\vert_U)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_X(E)\vert_U,\mathcal{O}_X(F)\vert_U)$であったから表題の同型が成り立つ.
2.
pollymath.hatenablog.com
$E=X\times\mathbb{R}^p$の場合は上のリンク先の命題より成り立つ.一般の$E$について考える.$\Gamma(U,\bigwedge^rE)=\left\{s\colon U\rightarrow\bigsqcup_{x\in X}\bigwedge^rE_x\mid\text{smooth section}\right\}$であることを思い出しておく.

$$\bigwedge^r_{\Gamma(U,\mathcal{O}_X)}\Gamma(U,E)\rightarrow\bigwedge^rE_x$$
より射$\bigwedge^r_{\Gamma(U,\mathcal{O}_X)}\Gamma(U,E)\rightarrow\Gamma(U,\bigwedge^rE)$を誘導する.さらにここから層の射$\bigwedge^r\mathcal{O}_X(E)\rightarrow\mathcal{O}_X\left(\bigwedge^rE\right)$を誘導する.
$U$を$E$の局所自明化近傍とするとこの射は$U$に制限すると同型になる.自明化$U$は$X$を覆うので$X$全体でも同型になる.
3.
$E=X\times\mathbb{R}^p$かつ$F=X\times\mathbb{R}^q$の場合は上のリンク先の命題より成り立つ.一般の$E$, $F$について考える.$\Gamma(U,E\otimes F)=\left\{s\colon U\rightarrow\bigsqcup_{x\in X}E_x\otimes F_x\mid\text{smooth section}\right\}$であることを思い出しておく.

$$\Gamma(U,E)\otimes_{\Gamma(U,\mathcal{O}_X)}\Gamma(U,F)\rightarrow E_x\otimes F_x$$
より射$\Gamma(U,E)\otimes_{\Gamma(U,\mathcal{O}_X)}\Gamma(U,F)\rightarrow\Gamma(U,E\otimes F)$を誘導する.さらにここから層の射$\mathcal{O}_X(E)\otimes\mathcal{O}_X(F)\rightarrow\mathcal{O}_X(E\otimes F)$を誘導する.
$U$を$E$, $F$の局所自明化近傍とするとこの射は$U$に制限すると同型になる.自明化$U$は$X$を覆うので$X$全体でも同型になる.$\square$