Hom関手と層化関手

命題

$(X,\mathcal{O}_X)$を環付き空間，$\mathcal{P}$を$\mathcal{O}_X$-加群前層，$\mathcal{Q}$を$\mathcal{O}_X$-加群層とすると同型
\begin{align}
a\operatorname{\mathcal{Hom}}(\mathcal{P},\mathcal{Q})\cong\operatorname{\mathcal{Hom}}(a\mathcal{P},\mathcal{Q})
\end{align}
が成り立つ．但し$a$は前層を層化する関手を表す．さらに$\mathcal{P}$,$\mathcal{Q}$に関して自然である．

証明

層化と制限は交換するので，開集合$U\subset X$に対して$\mathcal{P}\vert_U\rightarrow a\mathcal{P}\vert_U$を合成する射
\[
\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_U}(a\mathcal{P}\vert_U,\mathcal{Q}\vert_U)\rightarrow\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{P}\vert_U,\mathcal{Q}\vert_U)
\]
は同型である．よって同型射$\operatorname{\mathcal{Hom}}(a\mathcal{P},\mathcal{Q})\rightarrow\operatorname{\mathcal{Hom}}(\mathcal{P},\mathcal{Q})$ができた．特に$\operatorname{\mathcal{Hom}}(\mathcal{P},\mathcal{Q})$が層になることが分かる．自然性の証明は略．$\square$

$\operatorname{\mathcal{Hom}}(\mathcal{P},\mathcal{Q})$は$\mathcal{P}$が前層でも$\mathcal{Q}$が層なら層になる．

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このページの命題の証明において$\mathcal{M}$が層であることは使っていない．