局所自由層
定義
$(X,\mathcal{O})$を環付き空間,$\mathcal{F}$を$\mathcal{O}$-加群層とする.$\mathcal{F}$が階数$r$の局所自由層であるとは,任意の$x\in X$に対して$x$のある開近傍$U$が存在して同型$\mathcal{F}\vert_U\cong\mathcal{O}\vert_U^r$が成り立つことをいう.
定義
$X$を実多様体,$E$を$X$上のベクトル束とする.$\mathcal{O}_X$で$X$上の滑らかな関数のなす環の層を表すとき,$\mathcal{O}_X$-加群層$\mathcal{O}_X(E)$を
$$\Gamma(U,\mathcal{O}_X(E)):=\Gamma(U,E\vert_{U})$$
(セクションのなす$\Gamma(U,\mathcal{O}_X)$-加群)として定義.
さらにベクトル束の射$f\colon E\rightarrow F$があるとき,セクションとの合成で層の射$\mathcal{O}_X(f)\colon\mathcal{O}_X(E)\rightarrow\mathcal{O}_X(E)$を定義する.
命題
証明
1. $E$の局所自明化近傍を取ればよい.
2. 関手になることの証明は略す.$E=X\times \mathbb{R}^p$, $F=X\times \mathbb{R}^q$の場合,ベクトル束の射$E\rightarrow F$も層の射$\mathcal{O}_X^p\rightarrow\mathcal{O}_X^q$もどちらも滑らかな写像$X\rightarrow M(p,q,\mathbb{R})$と1対1対応する.よって$\operatorname{Hom}(E,F)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X^p,\mathcal{O}_X^q)$が成り立つ.$E$, $F$が一般のベクトル束の場合を考える.$E$, $F$がともに自明束になるような$X$の開被覆$\{U_i\}$を取る.上の議論より任意の$i$に対して$\operatorname{Hom}(E\vert_{U_i},F\vert_{U_i})\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{U_i}}(\mathcal{O}_X(E)\vert_{U_i},\mathcal{O}_X(F)\vert_{U_i})$となる.
\begin{CD}
\operatorname{Hom}(E,F) @>{\alpha}>> \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{X}}(\mathcal{O}_X(E),\mathcal{O}_X(F))\\
@VVV @VVV\\
\prod_i\operatorname{Hom}(E\vert_{U_i},F\vert_{U_i}) @>{\alpha'}>> \prod_i\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{U_i}}(\mathcal{O}_X(E)\vert_{U_i},\mathcal{O}_X(F)\vert_{U_i})\\
@VVV @VVV\\
\prod_{j,k}\operatorname{Hom}(E\vert_{U_{jk}},F\vert_{U_{jk}}) @>{\alpha''}>> \prod_{j,k}\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{U_{jk}}}(\mathcal{O}_X(E)\vert_{U_{jk}},\mathcal{O}_X(F)\vert_{U_{jk}})\\
\end{CD}
上の可換図式において横向きの射$\alpha'$, $\alpha''$は共に全単射である.$\mathcal{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X(E),\mathcal{O}_X(F))$が層になることの証明より,縦の射は2本ともequalizer sequenceである.よって$\alpha$も全単射.$\square$