ベクトル束の演算
定義命題
$X$を実多様体，$E$,$F$を$X$上のベクトル束とする．次は全て$X$上のベクトル束になる．
- $\operatorname{Hom}(E,F):=\bigsqcup_{x\in X}\operatorname{Hom}(E_x,F_x)$
- $\bigwedge^rE:=\bigsqcup_{x\in X}\bigwedge^rE_x$
- $E\otimes F:=\bigsqcup_{x\in X}E_x\otimes F_x$
証明
証明にはこの記事を使う．$E$, $F$を同時に自明化する開集合族$\{U_i\}$で$X$が覆えているとする．各$i$に対して同型射$E\vert_{U_i}\rightarrow U_i\times\mathbb{R}^p$, $F\vert_{U_i}\rightarrow U_i\times\mathbb{R}^q$を一つずつ取って固定する．$E$の変換関数の族を$\{g_{ij}\}$, $F$の変換関数の族を$\{h_{ij}\}$とする．線形同型$\operatorname{Hom}(E_x,F_x)\rightarrow M(p,q,\mathbb{R})$を束ねて局所自明化$\operatorname{Hom}(E,F)\vert_{U_i}\rightarrow U_i\times M(p,q,\mathbb{R})$を作ると変換関数は$M(p,q,\mathbb{R})$の元に右から$g_{ij}(x)^{-1}$を，左から$h_{ij}(x)$を掛ける写像である．これによって$\operatorname{Hom}(E,F)$は$pq$次元のベクトル束になる．
同様にして，$\bigwedge^rE$の局所自明化は線形同型$\bigwedge^rE_x\rightarrow\bigwedge^r\mathbb{R}^p$を束ねて作ったもので，変換関数は$\bigwedge^rg_{ij}(x)$になる．
最後に$E\otimes F$の局所自明化は線形同型$E_x\otimes F_x\rightarrow\mathbb{R}^p\otimes\mathbb{R}^q$を束ねて作ったもので，変換関数は$g_{ij}(x)\otimes h_{ij}(x)$になる．$\square$
