inductive dimension, covering dimension: 定義

位相空間

このページは Engelking, "Dimension Theory" による．

定義 1

(Engelking, Dimension Theory, Definition 1.1.1)

正則空間$X$の small inductive dimension $\operatorname{ind} X$ を次のように帰納的に定める：

  • $\operatorname{ind} X = -1 \Leftrightarrow X = \varnothing$
  • $n \ge 0$ のとき $\operatorname{ind} X \le n$ とは次が成り立つこととする： 任意の $x \in X$ とその開近傍 $V \subset X$ に対して，ある開集合 $U \subset X$ で $x \in U \subset V$ かつ $\operatorname{ind} \partial U \le n - 1$ を満たすものが存在する．

定義 2

(Engelking, Dimension Theory, Definition 1.6.1)

正規空間$X$の large inductive dimension $\operatorname{Ind} X$ を次のように帰納的に定める：

  • $\operatorname{Ind} X = -1 \Leftrightarrow X = \varnothing$
  • $n \ge 0$ のとき $\operatorname{Ind} X \le n$ とは次が成り立つこととする： 任意の閉集合 $A \in X$ とその開近傍 $V \subset X$ に対して，ある開集合 $U \subset X$ で $A \subset U \subset V$ かつ $\operatorname{Ind} \partial U \le n - 1$ を満たすものが存在する．

定義 3

(Engelking, Dimension Theory, Definition 1.6.7)

正規空間$X$の covering dimension $\operatorname{dim} X$ を次のように定める：

  • $n \ge -1$ のとき $\operatorname{dim} X \le n$ とは次が成り立つこととする： $X$ の任意の有限開被覆に対してその有限細分で order が $n$ 以下のものが存在する．

但し $X$ の被覆 $\mathcal{A}$ に対してその order が $n$ 以下とは $\mathcal{A}$ に含まれる相異なる $n + 2$ 個の開集合 が任意に与えられたとき，その共通部分が$\varnothing$になることをいう．