第二可算空間，リンデレフ空間

定義

$X$を位相空間とする．

$X$が高々可算な開基を持つとき，$X$は第二可算公理を満たすという．

$X$の任意の開被覆$\{U_i\}_{i\in I}$に対して，その高々可算な部分集合が再び$X$を覆うとき$X$はリンデレフという．

命題

可算選択公理を仮定すると，第二可算公理を満たす位相空間はリンデレフである．

証明

topospaces.subwiki.org
証明は↑による．
$\{B_n\}_{n \in \mathbb{N}}$を位相空間$X$の可算な開基とし，$\{U_i\}_{i\in I}$を$X$の開被覆とする．各$B_n$に対し，$B_n\subset U_j$なる$j$が存在する場合は$U_n\colon=U_j$とし，そうでないなら$U_n\colon=\varnothing$と定義する．族$\{U_n\}_n$が$X$を覆うことを示そう．$x\in X$のとき，$x\in B_n \subset U_i$となる$i$, $n$を$i$, $n$の順に選ぶ．$U_n$は$U_i$と一致するとは限らないが少なくとも$\varnothing$ではなく$B_n$を含むので，$x\in\bigcup_{n'}U_{n'}$が分かる．$\square$

族$\{U_n\}_n$を取るところで可算選択公理を使った．