有限群の複素表現は完全可約

命題

$G$を有限群とし，$\mathbb{C}[G]$で$G$の$\mathbb{C}$上の群環を表すものとする．
$M $を有限次元$\mathbb{C}[G]$-加群とするとき，$M $には$G$-不変な内積がある．

証明

ベクトル空間の同型$M\cong \mathbb{C}^n$により，$M $は内積を少なくとも一つは持つ．
この内積を$\langle\cdot,\cdot\rangle$と書く．$u,v\in M $に対して
\begin{align}
\langle u,v\rangle_G:=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\langle gu,gv\rangle
\end{align}
とおくことで，これが求める$G$-不変な内積になる．
非退化性だけ示す．$u\in M $が任意の$v\in M $に対して$\langle u,v\rangle_G=0$を満たしたとすると，
\begin{align}
\langle u,u\rangle_G=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\langle gu,gu\rangle=0
\end{align}
より$u=0$が従う．$\square$

系

$M $を有限次元$\mathbb{C}[G]$-加群とするとき，$M $は完全可約である．

証明

$\langle\cdot,\cdot\rangle$を$G$-不変な$M $の内積とする．部分加群$N\subset M $があるとき，その直交補空間$N^\perp$は部分加群になる．実際，任意の$m\in N^\perp$, $n\in N$, $g\in G$に対して，
\begin{align}
\langle g m,n\rangle=\langle m,g^{-1}n\rangle=0
\end{align}
より$g m\in N^\perp$が従うからである．次元に関する帰納法により，$M $が完全可約であることが分かる．$\square$