接空間の局所座標による表示

命題

$\mathbb{R}^m $ の空でない開集合$U$と$\mathbb{R}^n$の空でない開集合$V$，そして滑らかな写像$F\colon U\rightarrow V$があるとする．
\begin{align}
F(x_1,\ldots,x_m)=\left\{
\begin{matrix}
F_1(x_1,\ldots,x_m)\\
\vdots\\
F_n(x_1,\ldots,x_m)
\end{matrix}
\right.
\end{align}
と書いておく．
$x\in U$をとって線形写像$F_{*,x}\colon T_x U \rightarrow T_{F(x)}V$を考えたとき，$T_x U$の基底$\partial_{j,x}$ ($1\leq j\leq m $)，$T_{F(x)}V$の基底$\partial_{j,F(x)}$ ($1\leq j\leq n$)に関して$F_{*,x}$を表示すると
\begin{align}
F_{*,x} \partial_{j,x} = \sum_{k=1}^n \frac{\partial F_k}
{\partial x_j}(x) \partial_{k,F(x)}
\end{align}
である．

証明

略$\square$

ちょっとした系

pollymath.hatenablog.com
$X$をハウスドルフ実多様体，$p$をその点とし，$p$の周りの2つのチャート$(U,\varphi), (V,\psi)$をとる．$\varphi(p)=x$とおくとき上のリンク先の命題より，
\begin{CD}
\mathbb{R}^n @>>> T_x\varphi(U) @>>> T_{\varphi^{-1}(x)}U\\
@VVV @VVV @VVV\\
\mathbb{R}^n @>>> T_x\varphi(U\cap V) @>>> T_{\varphi^{-1}(x)}(U\cap V) @>>> T_{(\psi\circ\varphi^{-1})(x)}\psi(U\cap V)@>>> \mathbb{R}^n\\
@. @. @VVV @VVV @VVV\\
@. @. T_{\varphi^{-1}(x)}V @>>> T_{(\psi\circ\varphi^{-1})(x)}\psi(V) @>>> \mathbb{R}^n
\end{CD}
という可換な線形同型がある．このとき左上の$\mathbb{R}^n$から右下の$\mathbb{R}^n$へ向かう線形写像を行列で書くと
$$
\left(\frac{\partial (\psi\circ\varphi^{-1})_i}{\partial x_j}(x)\right)
$$
である．ただし$(\psi\circ\varphi^{-1})_i = \operatorname{pr}_i \circ \psi \circ \varphi^{-1}$とする．