接空間

定義

• 実多様体$X$とその点$p$に対し，線形写像$\alpha \colon \mathcal{O}(X) \rightarrow \mathbb{R}$で任意の$f, g \in \mathcal{O}(X)$に対して$\alpha(fg)=g(p)\alpha(f)+f(p)\alpha(g)$を満たすものを$X$の点$p$における接ベクトルといい，これを集めてできる集合を$T_pX$で表す．
• 実多様体$X$, $Y$とその間のなめらかな写像$F \colon X \rightarrow Y$に対し，線形写像$F^* \colon \mathcal{O}(Y) \rightarrow \mathcal{O}(X)$を$f \in \mathcal{O}(Y)$に対し$F^* f := f \circ F$で定義する．
• 上の状況下で，$p \in X$に対し線形写像$F_{*,p} \colon T_pX \rightarrow T_{F(p)} Y$を$\alpha \in T_pX$に対して$F_{*,p} \alpha := \alpha \circ F^*$で定義する．

命題

1. ハウスドルフ実多様体$X$とその点$p$をとる．$\alpha\in T_pX$とするとき$p$のまわりで$0$となるなめらかな関数$f\in\mathcal{O}(X)$に対しては$\alpha(f)=0$が成り立つ．また$p$のまわりで一致するなめらかな関数$g$, $h\in\mathcal{O}(X)$に対しては$\alpha(g)=\alpha(h)$が成り立つ．
2. 上の状況下で$p$の開近傍$U$があるとし，$i\colon U\rightarrow X$を包含写像とする．このとき$i_{*,p}\colon T_pU\rightarrow T_pX$は線形同型である．
3. 実多様体$X$, $Y$, $Z$とその間のなめらかな写像$F \colon X \rightarrow Y$, $G \colon Y \rightarrow Z$があるとする．$X$の点$p$をとるとき，上の線形写像$F_{*,x} \colon T_p X \rightarrow T_{F(p)}Y$, $G_{*,F(p)} \colon T_{F(p)}Y \rightarrow T_{G(F(p))}Z$は$$G_{*,F(p)}\circ F_{*,p}=(G\circ F)_{*,p}$$を満たす．さらに$F$が微分同相写像ならば$F_{*,p}$は線形同型である．
4. $\mathbb{R}^n$の開集合$U$とその点$p$に対して，$U$の接ベクトル$\partial_{i,p} \in T_p U$ ($i=1,\ldots,n$)を，$f=f(x_1,\ldots,x_n) \in \mathcal{O}(U)$に対して$$\partial_{i,p}f:=\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)$$で定義すると，$\{\partial_{i,p}\}_{i=1,\ldots,n}$は$T_p U$の基底をなす．
5. 実多様体$X$とその点$p$をとる．$p$まわりのチャート$(U,\varphi)$をとるとき，$(\varphi^{-1})_{*,\varphi(p)}\colon T_{\varphi(p)}\varphi(U)\rightarrow T_pU$は線形同型となる．

証明

1.
pollymath.hatenablog.com
前半のみ示す．$p$のまわりのチャート$(V,\varphi)$をとる．$V$上で$f=0$であるとしてよい．1点集合$\{p\}$はコンパクトなので，上記リンク先の定理によりなめらかな$\lambda\colon X\rightarrow\mathbb{R}$で$\operatorname{supp}\lambda\subset V$かつ$\lambda(p)=1$となるようなものが存在する．このとき主張は次のように示せる：
\begin{align}
0=\alpha(\lambda f)&=f(p)\alpha(\lambda)+\lambda(p)\alpha(f)\\
&=\alpha(f)
\end{align}
2.
$p$のまわりのチャート$(V,\varphi)$をとる．$V\subset U$であるとしてよい．$V$は$\mathbb{R}^n$の開集合と同相なので，コンパクトな$K\subset V$で$p$を内点に持つようなものが取れる．このとき上記リンク先の定理によりなめらかな$\lambda\colon X\rightarrow\mathbb{R}$で$\operatorname{supp}\lambda\subset V$かつ$K$上で常に$1$をとるようなものが存在する．これを用いて線型写像$\chi_p\colon T_pX\rightarrow T_pU$を次で定義する：$\alpha\in T_pX$, $g\in\mathcal{O}(U)$に対して$(\chi_p\alpha)(g):=\alpha(\lambda\cdot g)$
但し$\lambda\cdot g$とは$X$上で定義されている関数で，
\begin{align}
(\lambda\cdot g)(q)=
\begin{cases}
\lambda(q)g(q) & q \in U\\
0 & q \notin U
\end{cases}
\end{align}
である．$\operatorname{supp}\lambda\subset U$が成り立っているため$\lambda\cdot g$は$X$全体でなめらかであることが分かる．$\chi_p$が$\lambda$のとり方に依存しないことは一つ前の命題により分かる．
$\alpha\in T_pX$, $f\in\mathcal{O}(X)$に対して
\begin{align}
(i_{*,p}\chi_p\alpha)(f)&=(\chi_p\alpha)(f\vert_U)\\
&=\alpha(\lambda\cdot(f\vert_U))
\end{align}
関数$\lambda\cdot(f\vert_U)$は$p$のまわりで$f$に一致するため，上式最終行は$\alpha(f)$に一致する．
$\beta\in T_pU$, $g\in\mathcal{O}(U)$に対して
\begin{align}
(\chi_p i_{*,p}\beta)(g)&=(i_{*,p}\beta)(\lambda\cdot g)\\
&=\beta(\lambda\cdot g\vert_U)
\end{align}
関数$(\lambda\cdot g)\vert_U$は$p$のまわりで$g$に一致するため，上式最終行は$\beta(g)$に一致する．よって$i_{*,p}\colon T_pU\rightarrow T_pX$は線形同型である．
3. 略
4.
pollymath.hatenablog.com
$U$が$p$を基点とする星型領域であって，$U$内に$x$があるとき，上の定理が使えて
\begin{align}
f(x)=f(p)+\sum_{i=1}^n (x_i-p_i)\partial_{i,p}f+\sum_{i,j=1}^n (x_i-p_i)(x_j-p_j)h_{ij}(x)
\end{align}
となる．ただし$h_{ij}$は$U$上で定義された$C^\infty$-級関数である．$\forall\alpha\in T_pU$に対して$\alpha( (x_i-p_i)(x_j-p_j)h_{ij}(x) )=0$が成り立つので
\begin{align}
\alpha(f)&=\sum_{i=1}^n \alpha(x_i-p_i)\cdot\partial_{i,p}f\\
&=\sum_{i=1}^n \alpha(x_i)\cdot\partial_{i,p}f
\end{align}
よってすべての$\alpha\in T_pU$は$\partial_{i,p}$
の線形結合によって表せるので，$\partial_{i,p}$たちは$T_pU$の基底をなす．
一般の$U$に対しては，$U$に含まれるような$p$を中心とする開球$V$をとると，2.により包含写像$V\rightarrow U$から誘導される線形写像$T_p V\rightarrow T_pU$は同型で，$\partial_{i,p}$たちは$T_pU$の基底をなす．
5. 略