隆起関数(多様体版)

定理

$X$をハウスドルフ実多様体，$U$は開集合であるとし，$K \subset U$をコンパクト集合とする．

• case 1. $U$がチャートになっている場合は，あるなめらかな$f\colon X\rightarrow\mathbb{R}$で，$0\leq f \leq 1$，$\operatorname{supp} f \subset U$かつ$K$上で常に$1$をとるものが存在する．
• case 2. 一般の$U$の場合は，あるなめらかな$f\colon X\rightarrow\mathbb{R}$で，$f \geq 0$，$\operatorname{supp} f \subset U$かつ$K$上で常に正であるものが存在する．

case 1. $U$がチャートになっている場合

pollymath.hatenablog.com
$K\neq\varnothing$のときだけ考える．$\varphi\colon U\rightarrow\mathbb{R}^n$を像への微分同相とすると上の定理の証明を用いて，$\varphi(K)+B_\varepsilon(0)\subset\varphi(U)$となるような正数$\varepsilon$がとれる．$\varphi(K)$の点は$\varphi(K)+B_\varepsilon(0)$の内点である．
上記定理により，$\mathbb{R}^n$上のなめらかな関数$f$で$0\leq f\leq 1$, $\operatorname{supp}f\subset\varphi(K)+B_\varepsilon(0)$かつ$\varphi(K)$上で常に$1$となるものが存在する．新しく$X$上の関数$\tilde{f}$を
\begin{align}
\tilde{f}(p)=
\begin{cases}
(f\circ\varphi)(p) & p\in U\\
0 & p \notin U
\end{cases}
\end{align}
で定義する．$0\leq\tilde{f}\leq 1$かつ$K$上で$\tilde{f}=1$となることはOK．$p_0\in X\setminus U$を任意に取る．上記定理の証明より$\varphi(K)+B_\varepsilon(0)$は$\mathbb{R}^n$のコンパクト集合である．よって$X$がハウスドルフであるという仮定を用いれば，$\varphi^{-1}(\varphi(K)+B_\varepsilon(0))$が$X$の閉集合であることが分かる．よって$p_0$のある近傍で$\varphi^{-1}(\varphi(K)+B_\varepsilon(0))$と交わらないものがある．この近傍上で$\tilde{f}$は常に$0$をとるから，$\operatorname{supp}\tilde{f}\subset U$である．このことにより$\tilde{f}$が$X$全体でなめらかであることも分かる．$\square$

case 2. 一般の$U$の場合

$K$の任意の点$a$に対して$a$まわりのチャートを考えることでstep 1よりあるなめらかな$f_a\colon X\rightarrow\mathbb{R}$で，$f_a \geq 0$かつ$f_a(a) > 0$かつ$\operatorname{supp} f_a \subset U$を満たすものが存在する．$K$がコンパクトなので有限個の関数${f_k}$を選んで$\sum_kf_k\vert_K > 0$を満たすようにできる．$g=\sum_kf_k$とおくと$\operatorname{supp}g\subset U$を満たす．$\square$