\mathcal{O}は層

命題

圏$\mathbf{Ring}$において，2つの射$f, g \colon A \rightarrow B$の等化子$i \colon E \rightarrow A$は次で定義される．
$$E := \{ a \in A \mid f(a) = g(a) \}$$
$i \colon E \rightarrow A$は包含写像．以下ではこの$E$を$\operatorname{Ker}(f,g)$と書く．

証明

省略

命題

実多様体$X$の開集合全体のなす集合を$\operatorname{top}(X)$で表す．各$U \in \operatorname{top}(X)$に対して，$U$上のなめらかな$\mathbb{R}$値関数全体のなす環$\mathcal{O}(U)$を返す前層$\mathcal{O} \colon \operatorname{top}(X) \rightarrow \mathbf{Ring}$は層である．

証明

$X$の任意の開集合族$\{ U_i \}_{i \in I}$をとり，$U=\bigcup_{i\in I}U_i$とおく．有限個の$i_1, i_2, \ldots, i_n \in I$に対して$U_{i_1 i_2 \cdots i_n} := U_{i_1} \cap U_{i_2} \cap \cdots \cap U_{i_n}$と定義する．次の図式
\begin{CD}
\mathcal{O}(U) @>\alpha>> \prod_{i \in I} \mathcal{O}(U_i) @>\beta, \gamma>> \prod_{j,k \in I} \mathcal{O}(U_{jk})
\end{CD}
が等化子列であることを示す．但し$\alpha$は$\mathcal{O}(U) \rightarrow \mathcal{O}(U_i)$から直積の普遍性を用いて作った射で，$\beta$, $\gamma$はそれぞれ$\prod_{i \in I} \mathcal{O}(U_i) \rightarrow \mathcal{O}(U_j) \rightarrow \mathcal{O}(U_{jk})$, $\prod_{i \in I} \mathcal{O}(U_i) \rightarrow \mathcal{O}(U_k) \rightarrow \mathcal{O}(U_{jk})$から作った射である．
$\alpha$が$\operatorname{Ker}(\beta, \gamma)$への同型射であることを示せばよい．$\alpha$が単射であることと，その像が$\operatorname{Ker}(\beta, \gamma)$に含まれることは明らか．任意の$(f_i)_{i \in I} \in \operatorname{Ker}(\beta, \gamma) \subset
\prod_{i \in I} \mathcal{O}(U_i)$をとる．任意の$j, k \in I$をとったとき$f_j$と$f_k$は開集合$U_{jk}$上で一致しているので，$(f_i)_{i \in I}$をはり合わせると$U$上の関数$f$が矛盾無く定まる．よって$\alpha$の像は $\operatorname{Ker}(\beta, \gamma)$に一致する．$\square$