多様体の貼り合わせ

命題

$X$を集合とする．$X$の部分集合族$\{U_i\}_{i\in I}$が次を満たすものとする．

• $X = \bigcup_{i\in I} U_i$
• 各$U_i$は位相空間で，$U_{ij}:=U_i\cap U_j$は$U_i$, $U_j$の開部分集合となり，$U_{ij}$上の恒等写像$1\colon U_{ij}\rightarrow U_{ij}$は始域の$U_{ij}$には$U_i$からの相対位相を，終域の$U_{ij}$には$U_j$からの相対位相を入れるときに同相写像になる．

このとき$X$にすべての$U_i$のすべての開集合が生成する位相を入れると，各$U_i$は$X$の開部分集合となり，$U_i$の$X$からの相対位相は$U_i$の元々の位相に一致する．

証明

$U_i$に$X$から入れた相対位相は，
$$U_i \cap V_{i_1} \cap \cdots \cap V_{i_n} \quad \text{($V_{i_k}$は$U_{i_k}$の元の位相に関する開部分集合)}$$
という形の部分集合によって生成されているが，これは条件より$U_i$の元の位相に関して開である．$\square$

命題

$n$を自然数とする．$X$, $\{U_i\}_{i\in I}$を上と同じものとし，次の条件を加える．

• 各$U_i$は$n$次元実多様体で，$U_{ij}:=U_i\cap U_j$上の恒等写像$1\colon U_{ij}\rightarrow U_{ij}$は始域の$U_{ij}$は$U_i$の部分多様体だと思い，終域の$U_{ij}$は$U_j$の部分多様体だと思ったとき微分同相写像になる．

このとき$X$を上と同様に位相空間だと思い，さらにすべての$U_i$内のチャートによって$X$は$n$次元実多様体になる．各$U_i$の$X$から来るチャートは$U_i$の元々のチャートになる．

証明

$U_i$のチャート$(V,\varphi)$と$U_j$のチャート$(W,\psi)$をとり$V\cap W\neq\varnothing$と仮定する．このとき$\psi\circ\varphi^{-1}\colon\varphi(V\cap W)\rightarrow\psi(V\cap W)$は3つの微分同相写像
\begin{align}
\varphi^{-1}&\colon\varphi(V\cap W)\rightarrow V\cap W\\
1&\colon V\cap W\rightarrow V\cap W\\
\psi&\colon V\cap W \rightarrow \psi(V\cap X)
\end{align}
の合成なので微分同相である．$\square$