ベクトル束の貼り合わせ
定義
$X$を実多様体，$\{U_i\}_{i\in I}$をその開被覆とする．各ペア$i,j\in I$に対して滑らかな写像$g_{ij}\colon U_{ij} \rightarrow GL(r,\mathbb{R})$が定義されていたとする．族$\{g_{ij}\}_{i,j\in I}$が変換関数の族であるとは，次を満たすことをいう．
- $g_{ii}(x) = 1$ ($x\in U_i$)
- $g_{jk}(x) g_{ij}(x) = g_{ik}(x)$ ($x\in U_{ijk}$)
命題
$X$を実多様体，$\{U_i\}_{i\in I}$をその開被覆とする．変換関数の族$g_{ij}\colon U_{ij} \rightarrow GL(r,\mathbb{R})$があったとする．
$$E:=\bigsqcup_{i\in I} (U_i\times\mathbb{R}^r) / \sim$$
とおく．ただし同値関係は$(x,v)\in U_i\times\mathbb{R}^r$, $(y,w)\in U_j\times\mathbb{R}^r$に対して
$$(x,v) \sim (y,w) \Leftrightarrow x=y \ \text{and}\ w=g_{ij}(x)v$$
で定義し，射影$\pi\colon E\rightarrow X$を考える．
このとき$E$の部分集合族$\{E\vert_{U_i}\}_{i\in I}$は上記リンク先の2つの命題の仮定を満たす．
証明
埋め込み$U_i\times\mathbb{R}^r\rightarrow E$の像は$E\vert_{U_i}$であり，逆射$\psi_i\colon E\vert_{U_i}\rightarrow U_i\times\mathbb{R}^r$をとる．この全単射により$E\vert_{U_i}$を実多様体であるとみなす．
$U_{ij}=U_i\cap U_j$が$\varnothing$でないとする．
\begin{CD}
E\vert_{U_{ij}} @>{1}>> E\vert_{U_{ij}}\\
@V{\psi_i}VV @VV{\psi_j}V\\
U_{ij}\times\mathbb{R}^r @>>> U_{ij}\times\mathbb{R}^r
\end{CD}
上の可換図式を考えたとき，$U_{ij}\times\mathbb{R}^r$から$U_{ij}\times\mathbb{R}^r$へ向かう射は何か考える ．この射により$(x,v)$が$(y,w)$に送られるとすると，$x=y$かつ$w=g_{ij}(x)v$であり，これは実多様体の間の微分同相写像である．よって$1\colon E\vert_{U_{ij}}\rightarrow E\vert_{U_{ij}}$はリンク先の命題の仮定を満たしている．$\square$
命題
各$E_x$には上の証明中の$\psi_i\colon E\vert_{U_i}\rightarrow U_i\times\mathbb{R}^r$から誘導される$E_x\rightarrow\mathbb{R}^r$がすべての$i\in I$で$x\in U_i$となるものに対して線形同型になるようなベクトル空間の構造がただ一つ存在する．
証明
$i\in I$で$x\in U_i$となるものがあると，$\psi_i\colon E\vert_{U_i}\rightarrow U_i\times\mathbb{R}^r$から誘導される$E_x\rightarrow\mathbb{R}^r$がベクトル空間の同型になるような$E_x$のベクトル空間の構造が一つに決まってしまう．他の$j\in I$で$x\in U_j$となるものがある場合，
\begin{CD}
E_x @>{1}>> E_x\\
@V{\psi_i}VV @VV{\psi_j}V\\
\{x\}\times\mathbb{R}^r @>>> \{x\}\times\mathbb{R}^r
\end{CD}
上の可換図式において$\{x\}\times\mathbb{R}^r$から$\{x\}\times\mathbb{R}^r$へ向かう射は先の命題の証明により$g_{ij}(x)$であったから線形同型で，したがって$\psi_j$より誘導された$E_x\rightarrow\{x\}\times\mathbb{R}^r$の方も線形同型になる．$\square$
命題
上記$E$は$X$上$r$次ベクトル束である．
