ベクトル束の貼り合わせ その2

命題

$X$を実多様体とし，$X$の各点$x$ごとに$r$次元$\mathbb{R}$上ベクトル空間$E_x$が定められていたとする．
$$E:=\bigsqcup_{x\in X}E_x$$
とおき，$\pi\colon E\rightarrow X$を射影とする．$X$のある開被覆$\{U_i\}_{i\in I}$と全単射の族$\{\psi_i\colon E\vert_{U_i}\rightarrow U_i\times\mathbb{R}^r\}_{i\in I}$と変換関数の族$\{g_{ij}\colon U_{ij} \rightarrow GL(r,\mathbb{R})\}_{i,j\in I}$が次を満たすとする：
$\psi_i\colon E\vert_{U_i}\rightarrow U_i\times\mathbb{R}^r$と$\operatorname{pr}_1\colon U_i\times\mathbb{R}^r\rightarrow U_i$の合成が$\pi\vert_{U_i}$に等しく，任意の$x\in U_i$に対して$\psi_i\colon E_x\rightarrow \{x\}\times\mathbb{R}^r$が線形同型になり，
\begin{align}
\begin{matrix}
(\psi_j\circ\psi_i^{-1})(x,v)=(x,g_{ij}(x)v) & (x,v) \in U_{ij}\times\mathbb{R}^r
\end{matrix}
\end{align}
が成り立つ．
このとき変換関数の族$\{g_{ij}\}_{i,j\in I}$から構成した$X$上のベクトル束
$$E'=\bigsqcup_{i\in I} (U_i\times\mathbb{R}^r) / \sim$$
と$E$との間には
\begin{CD}
E @>\pi>> X\\
@VVV @|\\
E' @>{\pi'}>> X
\end{CD}
が可換になるような全単射が存在し，さらに$E'$の局所自明化$\{{\psi'}_i\colon E'\vert_{U_i}\rightarrow U_i\times\mathbb{R}^r\}_{i \in I}$は
\begin{CD}
E\vert_{U_i} @>{\psi_i}>> U_i\times\mathbb{R}^r\\
@VVV @|\\
E'\vert_{U_i} @>{{\psi'}_i}>> U_i\times\mathbb{R}^r
\end{CD}
を可換にする．

証明

$U_i\times\mathbb{R}^r$の元$(x,v)$を$E_x$の元$\psi_i^{-1}(x,v)$に送る写像より，全単射$E'\rightarrow E$が誘導される．$\square$

系

$E$は$X$上のベクトル束になる．