局所自由層 その2

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↑の続き．

命題

$X$は実多様体とする．
$\mathcal{O}_X\colon E\mapsto\mathcal{O}_X(E)$は$X$上のベクトル束のなす圏から$X$上の有限階数局所自由層のなす圏への圏同値を与える．

証明

充満忠実性は前記事で示した．本質的全射であることを示す．$\mathcal{E}$を階数$r$の局所自由層とする．$\mathcal{E}$を自由にする$X$の開被覆$\{U_i\}$を取って，同型射$\varphi_i\colon\mathcal{E}\vert_{U_i}\rightarrow\mathcal{O}_{U_i}^r$を一つずつ取って固定．ペア$i$, $j$があるとき同型射$\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}\colon\mathcal{O}_{U_{ij}}^r\rightarrow\mathcal{O}_{U_{ij}}^r$より定まる滑らかな射$g_{ij}\colon U_{ij}\rightarrow GL(r,\mathbb{R})$を集めてできる族は変換関数の公理を満たす．自明束の族$\{U_i\times\mathbb{R}^r\}$を$\{g_{ij}\}$を使って貼り合わせて$r$次元ベクトル束$E$を作る．詳細は下の通り．
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同型射$\mathcal{E}\vert_{U_i}\rightarrow\mathcal{O}_{U_i}^r\rightarrow\mathcal{O}_X(E)\vert_{U_i}$が貼り合うことを示す．任意の$i$, $j$と$V\subset U_{ij}$, $s\in \mathcal{E}(V)$を取る．二つの同型射$\varphi_i\colon\mathcal{E}\vert_{U_i}\rightarrow\mathcal{O}_{U_i}^r$, $\varphi_j\colon\mathcal{E}\vert_{U_j}\rightarrow\mathcal{O}_{U_j}^r$によって$s$を送ると自明束$V\times\mathbb{R}^r$のセクション$\varphi_i(s), \varphi_j(s)\in\mathcal{O}_X(V)^r$を得る．$g_{ij}$の定義により$\varphi_j(s)=g_{ij}\varphi_i(s)$(右辺は行列の掛け算)が成り立っている．よって$E$の構成の仕方から$\varphi_i(s), \varphi_j(s)$は$E\vert_V$の同じセクションを定める．以下略．$\square$