Hom層

抽象幾何学



定義

  • $X$を位相空間，$\mathcal{O}$を$X$上の環の層とする．$X$上のアーベル群の層$\mathcal{M}$が$\mathcal{O}$-加群であるとは，開集合$U\subset X$に対して$\mathcal{M}(U)$が$\mathcal{O}(U)$-加群になっていて，$\mathcal{O}(U)$の$\mathcal{M}(U)$への作用が制限射と可換になっていることをいう．すなわち$V\subset U\subset X$に対して次が可換．

\begin{CD}
\mathcal{O}(U)\times\mathcal{M}(U) @>>> \mathcal{M}(U)\\
@VVV @VVV\\
\mathcal{O}(V)\times\mathcal{M}(V) @>>> \mathcal{M}(V)
\end{CD}

  • $X$,$\mathcal{O}$を上と同じとし，$\mathcal{M}$,$\mathcal{N}$を$\mathcal{O}$-加群とする．層の射$\varphi\colon\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{N}$が$\mathcal{O}$-加群の射であるとは，開集合$U\subset X$に対して$\varphi_U\colon\mathcal{M}(U)\rightarrow\mathcal{N}(U)$が$\mathcal{O}(U)$-加群の射になっていることをいう．
  • $X$,$\mathcal{O}$を上と同じとするとき，$\mathcal{O}$-加群のなす圏を$\mathcal{O}\text{-}\textbf{Mod}$と書く．

定義命題

$X$,$\mathcal{O}$を上と同じとし，$\mathcal{M}$,$\mathcal{N}$を$\mathcal{O}$-加群とする．このとき新しいアーベル群の前層$\mathcal{Hom}_{\mathcal{O}}(\mathcal{M},\mathcal{N})$を$U\subset X$に対し
\begin{align}
&\Gamma(U,\mathcal{Hom}_{\mathcal{O}}(\mathcal{M},\mathcal{N}))\\
&:=\left\{(\varphi_V)_{V\subset U}\in\prod_{V\subset U}\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}(U)}(\mathcal{M}(U),\mathcal{N}(U))\mid\operatorname{res}^V_W\circ\varphi_V=\varphi_W\circ\operatorname{res}^V_W\ (W\subset V\subset U)\right\}\\
&=\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}\vert_U}(\mathcal{M}\vert_U,\mathcal{N}\vert_U)
\end{align}
にて定義すると，これは層であり$\mathcal{O}$-加群である．

証明

$\mathcal{O}$-加群構造は略．層になることのみ示す．開集合族$\{U_i\}$に対して$U:=\bigcup_i U_i$とし，$(\varphi_i)_i\in\prod_i\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}\vert_{U_i}}(\mathcal{M}\vert_{U_i},\mathcal{N}\vert_{U_i})$が任意の$j$, $k$に対して$\varphi_j\vert_{U_{jk}}=\varphi_k\vert_{U_{jk}}$を満たすと仮定する．
これの逆像$\varphi\in\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}\vert_{U}}(\mathcal{M}\vert_{U},\mathcal{N}\vert_{U})$がもしも存在するとすると，$V\subset U$と$s\in\mathcal{M}(V)$が与えられたとき，$\varphi(s)$は$(\varphi_i(s\vert_{V\cap U_i}))_i\in\prod_i\mathcal{N}(V\cap U_i)$を貼り合わせたものになっているはずである．これにより$\varphi$の唯一性が従う．さらに$(\varphi_i)_i$が張り合わせ条件を満たすので，$(\varphi_i(s\vert_{V\cap U_i}))_i$も貼り合う．よって$\varphi(s)$はwell-definedである．
$\varphi$が層の射であることを示す．$W\subset V\subset U$, $s\in\mathcal{M}(V)$のとき，$\operatorname{res}^V_W\varphi(s)$と$\varphi\operatorname{res}^V_W(s)$はともに$(\varphi_i(s\vert_{W\cap U_i}))_i\in\prod_i\mathcal{N}(W\cap U_i)$を貼り合わせたものになっている．そういう元は唯一なので$\operatorname{res}^V_W\varphi(s)=\varphi\operatorname{res}^V_W(s)$である．よって$\varphi$は層の射になっている．$\square$