加群層の外積とテンソル

定義命題

$(X,\mathcal{O})$を環付き空間とし，$\mathcal{M}$を$\mathcal{O}$-加群，$k$を非負整数とする．このとき新しいアーベル群の層$\bigwedge^k\mathcal{M}$を$U\subset X$に対し$\bigwedge^k_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{M}(U)$を返す前層の層化として定義する．このときもしも$\mathcal{M}$の$U$への制限が有限階数自由層ならば，$$\Gamma(U,\bigwedge^k\mathcal{M})=\bigwedge^k_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{M}(U)$$が成り立つ．

証明

$U\subset X$に対し$\bigwedge^k_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{M}(U)$を返す前層を$\bigwedge^k_p\mathcal{M}$で表すと，$\mathcal{M}\vert_U$が自由層なので$\bigwedge^k_p\mathcal{M}\vert_U$も自由層であり，特に層である．層化する関手と(前)層の$U$への制限は交換するので，$\Gamma(U,\bigwedge^k\mathcal{M})=\bigwedge^k_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{M}(U)$が成り立つ．$\square$

定義命題

$(X,\mathcal{O})$を環付き空間とし，$\mathcal{M}$, $\mathcal{N}$を$\mathcal{O}$-加群とする．このとき新しいアーベル群の層$\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$を$U\subset X$に対し$\mathcal{M}(U)\otimes_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{N}(U)$を返す前層の層化として定義する．このときもしも$\mathcal{M}$, $\mathcal{N}$の$U$への制限が共に有限階数自由層ならば，$$\Gamma(U,\mathcal{M}\otimes\mathcal{N})=\mathcal{M}(U)\otimes_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{N}(U)$$が成り立つ．

証明

$U\subset X$に対し$\mathcal{M}(U)\otimes_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{N}(U)$を返す前層を$\mathcal{M}\otimes_p\mathcal{N}$で表すと，$\mathcal{M}\vert_U$, $\mathcal{N}\vert_U$が自由層なので$\mathcal{M}\otimes_p\mathcal{N}\vert_U$も自由層であり，特に層である．層化する関手と(前)層の$U$への制限は交換するので，$\Gamma(U,\mathcal{M}\otimes\mathcal{N})=\mathcal{M}(U)\otimes_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{N}(U)$が成り立つ．$\square$