加群の外積
定義
$A$を環，$M$を$A$-加群，$r$を非負整数とするとき，$M^{\otimes r}$の部分加群$N$を
$\{m_1\otimes\cdots\otimes m_r-\operatorname{sgn}(\rho)m_{\rho(1)}\otimes\cdots\otimes m_{\rho(r)}\mid m_1,\ldots,m_r\in M,\, \rho\in S_r\}$
が生成するものとする．
$$\bigwedge^r M:=M^{\otimes r}/N$$
とおく．
命題
$M $が有限階数自由$A$-加群ならば，
$$\bigwedge^rM^*\cong(\bigwedge^rM)^*\ \text{naturally}$$
ただし$M^*=\operatorname{Hom}_A(M,A)$である．
