ベクトル束
定義
$X$を実多様体，$r$を非負整数とする．$X$の$r$次元ベクトル束$E$とは実多様体であって次を満たすようななめらかな全射$\pi \colon E \rightarrow X$を備えているもののことを言う．但し以下では$x \in X$に対し$E_x := \pi^{-1}(x)$とし，$X$の開集合$U$に対して$E\vert_U := \pi^{-1}(U)$と書く．
各$x \in X$に対して$E_x$は$r$次元実ベクトル空間で，$x$のある開近傍$U$と微分同相写像$\psi \colon E\vert_{U} \rightarrow U \times \mathbb{R}^r$が存在して，$E\vert_{U} \rightarrow U \times \mathbb{R}^r \rightarrow U$の合成が$\pi \vert_{E\vert_{U}}$に等しく，すべての$x'\in U$に対して$E_{x'} \hookrightarrow E\vert_{U} \rightarrow U \times \mathbb{R}^r \rightarrow \mathbb{R}^r$の合成がベクトル空間の同型となる．
上記$\psi \colon E\vert_{U} \rightarrow U \times \mathbb{R}^r$のことを$E$の局所自明化という．
命題
$E$の2つの局所自明化$(U,\varphi)$, $(V,\psi)$があったとし，$U\cap V\neq\varnothing$とする．$x\in U\cap V$が与えられたとき
$$\psi\circ\varphi^{-1}\colon\mathbb{R}^r\rightarrow\{x\}\times\mathbb{R}^r\rightarrow E_x\rightarrow\{x\}\times\mathbb{R}^r\rightarrow\mathbb{R}^r$$
の合成を$g(x)$と書くことにする．このとき$g\colon U\cap V \rightarrow GL(r,\mathbb{R})$は多様体の間の滑らかな写像である．
