モスクワ数学オリンピック第29回 Tour 2 Grade 9-11 問5
モスクワ数学オリンピック第29回 (1966) Tour 2 Grade 9-11 問5. $11 \times 11$マスのチェッカーボードのうち$22$マスにマークがおいてあり，各行・列に丁度2つのマークが並んでいる．2つの並べ方が同値であるとは，片方のチェッカーボードに行・列の入れ替えを有限回だけ施してもう一方のチェッカーボードの並べ方に等しくなることをいう．互いに同値でないマークの並べ方は何通りあるか．
解答
$2\times 2$マスだと次の並べ方しかない．
$3\times 3$マスだと次のみ．
以上の並べ方を一般化して，次のような並べ方を既約な並べ方と呼ぶ．
$L(n)$で$n\times n$マスからなる既約な並べ方を表すものとすると，任意の並べ方は行・列を並べ替えて次のような形にできる．
\begin{align}
\begin{bmatrix}
L(n_1) & & & \\
& L(n_2) & & \\
& & \ddots & \\
& & & L(n_k)
\end{bmatrix}
\end{align}
ただし
\begin{align}
\begin{array}[c]
\ 2 \leq n_1\leq n_2\leq\cdots\leq n_k\\
n_1+n_2+\cdots+n_k=n
\end{array}
\end{align}
とする．この並べ方が完全代表系になることを示す．$\{L(m_i)\}_{i=1,\ldots,k}$，$\{L(n_j)\}_{j=1,\ldots,l}$をそれぞれ対角に並べて作ったチェッカーボード$K_1$, $K_2$が同値になったとする．$m_1\leq n_1$と仮定しても一般性を失わない．$K_1$から$m_1$行$m_1$列をうまく選んで部分チェッカーボードを作るとまたどの行・列にも$2$つのマークがあるようにできる．（$L(m_1)$のことである．）この性質は$K_2$においても成り立つ．$K_2$の既約な部分チェッカーボード$L(n_j)$の任意の行か列を1つ選んでそこから$2$つのマークが並ぶよう行や列を増やしていくと，$L(n_j)$のすべての行・列が選ばれてしまう．よって$L(m_1)=L(n_1)$である．帰納法より一般のサイズのチェッカーボードで$K_1=K_2$が従う．
従って答えは$11$を$2$以上の整数で分割する場合の数に等しい．これは$14$通りある．
ベクトル束の演算
定義命題
$X$を実多様体，$E$,$F$を$X$上のベクトル束とする．次は全て$X$上のベクトル束になる．
- $\operatorname{Hom}(E,F):=\bigsqcup_{x\in X}\operatorname{Hom}(E_x,F_x)$
- $\bigwedge^rE:=\bigsqcup_{x\in X}\bigwedge^rE_x$
- $E\otimes F:=\bigsqcup_{x\in X}E_x\otimes F_x$
証明
証明にはこの記事を使う．$E$, $F$を同時に自明化する開集合族$\{U_i\}$で$X$が覆えているとする．各$i$に対して同型射$E\vert_{U_i}\rightarrow U_i\times\mathbb{R}^p$, $F\vert_{U_i}\rightarrow U_i\times\mathbb{R}^q$を一つずつ取って固定する．$E$の変換関数の族を$\{g_{ij}\}$, $F$の変換関数の族を$\{h_{ij}\}$とする．線形同型$\operatorname{Hom}(E_x,F_x)\rightarrow M(p,q,\mathbb{R})$を束ねて局所自明化$\operatorname{Hom}(E,F)\vert_{U_i}\rightarrow U_i\times M(p,q,\mathbb{R})$を作ると変換関数は$M(p,q,\mathbb{R})$の元に右から$g_{ij}(x)^{-1}$を，左から$h_{ij}(x)$を掛ける写像である．これによって$\operatorname{Hom}(E,F)$は$pq$次元のベクトル束になる．
同様にして，$\bigwedge^rE$の局所自明化は線形同型$\bigwedge^rE_x\rightarrow\bigwedge^r\mathbb{R}^p$を束ねて作ったもので，変換関数は$\bigwedge^rg_{ij}(x)$になる．
最後に$E\otimes F$の局所自明化は線形同型$E_x\otimes F_x\rightarrow\mathbb{R}^p\otimes\mathbb{R}^q$を束ねて作ったもので，変換関数は$g_{ij}(x)\otimes h_{ij}(x)$になる．$\square$
局所自由層 その2
pollymath.hatenablog.com
↑の続き．
命題
$X$は実多様体とする．
$\mathcal{O}_X\colon E\mapsto\mathcal{O}_X(E)$は$X$上のベクトル束のなす圏から$X$上の有限階数局所自由層のなす圏への圏同値を与える．
証明
充満忠実性は前記事で示した．本質的全射であることを示す．$\mathcal{E}$を階数$r$の局所自由層とする．$\mathcal{E}$を自由にする$X$の開被覆$\{U_i\}$を取って，同型射$\varphi_i\colon\mathcal{E}\vert_{U_i}\rightarrow\mathcal{O}_{U_i}^r$を一つずつ取って固定．ペア$i$, $j$があるとき同型射$\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}\colon\mathcal{O}_{U_{ij}}^r\rightarrow\mathcal{O}_{U_{ij}}^r$より定まる滑らかな射$g_{ij}\colon U_{ij}\rightarrow GL(r,\mathbb{R})$を集めてできる族は変換関数の公理を満たす．自明束の族$\{U_i\times\mathbb{R}^r\}$を$\{g_{ij}\}$を使って貼り合わせて$r$次元ベクトル束$E$を作る．詳細は下の通り．
pollymath.hatenablog.com
同型射$\mathcal{E}\vert_{U_i}\rightarrow\mathcal{O}_{U_i}^r\rightarrow\mathcal{O}_X(E)\vert_{U_i}$が貼り合うことを示す．任意の$i$, $j$と$V\subset U_{ij}$, $s\in \mathcal{E}(V)$を取る．二つの同型射$\varphi_i\colon\mathcal{E}\vert_{U_i}\rightarrow\mathcal{O}_{U_i}^r$, $\varphi_j\colon\mathcal{E}\vert_{U_j}\rightarrow\mathcal{O}_{U_j}^r$によって$s$を送ると自明束$V\times\mathbb{R}^r$のセクション$\varphi_i(s), \varphi_j(s)\in\mathcal{O}_X(V)^r$を得る．$g_{ij}$の定義により$\varphi_j(s)=g_{ij}\varphi_i(s)$(右辺は行列の掛け算)が成り立っている．よって$E$の構成の仕方から$\varphi_i(s), \varphi_j(s)$は$E\vert_V$の同じセクションを定める．以下略．$\square$
局所自由層
定義
$(X,\mathcal{O})$を環付き空間，$\mathcal{F}$を$\mathcal{O}$-加群層とする．$\mathcal{F}$が階数$r$の局所自由層であるとは，任意の$x\in X$に対して$x$のある開近傍$U$が存在して同型$\mathcal{F}\vert_U\cong\mathcal{O}\vert_U^r$が成り立つことをいう．
定義
$X$を実多様体，$E$を$X$上のベクトル束とする．$\mathcal{O}_X$で$X$上の滑らかな関数のなす環の層を表すとき，$\mathcal{O}_X$-加群層$\mathcal{O}_X(E)$を
$$\Gamma(U,\mathcal{O}_X(E)):=\Gamma(U,E\vert_{U})$$
(セクションのなす$\Gamma(U,\mathcal{O}_X)$-加群)として定義．
さらにベクトル束の射$f\colon E\rightarrow F$があるとき，セクションとの合成で層の射$\mathcal{O}_X(f)\colon\mathcal{O}_X(E)\rightarrow\mathcal{O}_X(E)$を定義する．
命題
証明
1. $E$の局所自明化近傍を取ればよい．
2. 関手になることの証明は略す．$E=X\times \mathbb{R}^p$, $F=X\times \mathbb{R}^q$の場合，ベクトル束の射$E\rightarrow F$も層の射$\mathcal{O}_X^p\rightarrow\mathcal{O}_X^q$もどちらも滑らかな写像$X\rightarrow M(p,q,\mathbb{R})$と1対1対応する．よって$\operatorname{Hom}(E,F)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X^p,\mathcal{O}_X^q)$が成り立つ．$E$, $F$が一般のベクトル束の場合を考える．$E$, $F$がともに自明束になるような$X$の開被覆$\{U_i\}$を取る．上の議論より任意の$i$に対して$\operatorname{Hom}(E\vert_{U_i},F\vert_{U_i})\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{U_i}}(\mathcal{O}_X(E)\vert_{U_i},\mathcal{O}_X(F)\vert_{U_i})$となる．
\begin{CD}
\operatorname{Hom}(E,F) @>{\alpha}>> \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{X}}(\mathcal{O}_X(E),\mathcal{O}_X(F))\\
@VVV @VVV\\
\prod_i\operatorname{Hom}(E\vert_{U_i},F\vert_{U_i}) @>{\alpha'}>> \prod_i\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{U_i}}(\mathcal{O}_X(E)\vert_{U_i},\mathcal{O}_X(F)\vert_{U_i})\\
@VVV @VVV\\
\prod_{j,k}\operatorname{Hom}(E\vert_{U_{jk}},F\vert_{U_{jk}}) @>{\alpha''}>> \prod_{j,k}\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{U_{jk}}}(\mathcal{O}_X(E)\vert_{U_{jk}},\mathcal{O}_X(F)\vert_{U_{jk}})\\
\end{CD}
上の可換図式において横向きの射$\alpha'$, $\alpha''$は共に全単射である．$\mathcal{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X(E),\mathcal{O}_X(F))$が層になることの証明より，縦の射は2本ともequalizer sequenceである．よって$\alpha$も全単射．$\square$
加群の外積
定義
$A$を環，$M$を$A$-加群，$r$を非負整数とするとき，$M^{\otimes r}$の部分加群$N$を
$\{m_1\otimes\cdots\otimes m_r-\operatorname{sgn}(\rho)m_{\rho(1)}\otimes\cdots\otimes m_{\rho(r)}\mid m_1,\ldots,m_r\in M,\, \rho\in S_r\}$
が生成するものとする．
$$\bigwedge^r M:=M^{\otimes r}/N$$
とおく．
命題
$M $が有限階数自由$A$-加群ならば，
$$\bigwedge^rM^*\cong(\bigwedge^rM)^*\ \text{naturally}$$
ただし$M^*=\operatorname{Hom}_A(M,A)$である．
証明
加群層の外積とテンソル
定義命題
$(X,\mathcal{O})$を環付き空間とし，$\mathcal{M}$を$\mathcal{O}$-加群，$k$を非負整数とする．このとき新しいアーベル群の層$\bigwedge^k\mathcal{M}$を$U\subset X$に対し$\bigwedge^k_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{M}(U)$を返す前層の層化として定義する．このときもしも$\mathcal{M}$の$U$への制限が有限階数自由層ならば，$$\Gamma(U,\bigwedge^k\mathcal{M})=\bigwedge^k_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{M}(U)$$が成り立つ．
証明
$U\subset X$に対し$\bigwedge^k_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{M}(U)$を返す前層を$\bigwedge^k_p\mathcal{M}$で表すと，$\mathcal{M}\vert_U$が自由層なので$\bigwedge^k_p\mathcal{M}\vert_U$も自由層であり，特に層である．層化する関手と(前)層の$U$への制限は交換するので，$\Gamma(U,\bigwedge^k\mathcal{M})=\bigwedge^k_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{M}(U)$が成り立つ．$\square$
定義命題
$(X,\mathcal{O})$を環付き空間とし，$\mathcal{M}$, $\mathcal{N}$を$\mathcal{O}$-加群とする．このとき新しいアーベル群の層$\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$を$U\subset X$に対し$\mathcal{M}(U)\otimes_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{N}(U)$を返す前層の層化として定義する．このときもしも$\mathcal{M}$, $\mathcal{N}$の$U$への制限が共に有限階数自由層ならば，$$\Gamma(U,\mathcal{M}\otimes\mathcal{N})=\mathcal{M}(U)\otimes_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{N}(U)$$が成り立つ．
証明
$U\subset X$に対し$\mathcal{M}(U)\otimes_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{N}(U)$を返す前層を$\mathcal{M}\otimes_p\mathcal{N}$で表すと，$\mathcal{M}\vert_U$, $\mathcal{N}\vert_U$が自由層なので$\mathcal{M}\otimes_p\mathcal{N}\vert_U$も自由層であり，特に層である．層化する関手と(前)層の$U$への制限は交換するので，$\Gamma(U,\mathcal{M}\otimes\mathcal{N})=\mathcal{M}(U)\otimes_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{N}(U)$が成り立つ．$\square$
Hom層
定義
- $X$を位相空間，$\mathcal{O}$を$X$上の環の層とする．$X$上のアーベル群の層$\mathcal{M}$が$\mathcal{O}$-加群であるとは，開集合$U\subset X$に対して$\mathcal{M}(U)$が$\mathcal{O}(U)$-加群になっていて，$\mathcal{O}(U)$の$\mathcal{M}(U)$への作用が制限射と可換になっていることをいう．すなわち$V\subset U\subset X$に対して次が可換．
\begin{CD}
\mathcal{O}(U)\times\mathcal{M}(U) @>>> \mathcal{M}(U)\\
@VVV @VVV\\
\mathcal{O}(V)\times\mathcal{M}(V) @>>> \mathcal{M}(V)
\end{CD}
- $X$,$\mathcal{O}$を上と同じとし，$\mathcal{M}$,$\mathcal{N}$を$\mathcal{O}$-加群とする．層の射$\varphi\colon\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{N}$が$\mathcal{O}$-加群の射であるとは，開集合$U\subset X$に対して$\varphi_U\colon\mathcal{M}(U)\rightarrow\mathcal{N}(U)$が$\mathcal{O}(U)$-加群の射になっていることをいう．
- $X$,$\mathcal{O}$を上と同じとするとき，$\mathcal{O}$-加群のなす圏を$\mathcal{O}\text{-}\textbf{Mod}$と書く．
定義命題
$X$,$\mathcal{O}$を上と同じとし，$\mathcal{M}$,$\mathcal{N}$を$\mathcal{O}$-加群とする．このとき新しいアーベル群の前層$\mathcal{Hom}_{\mathcal{O}}(\mathcal{M},\mathcal{N})$を$U\subset X$に対し
\begin{align}
&\Gamma(U,\mathcal{Hom}_{\mathcal{O}}(\mathcal{M},\mathcal{N}))\\
&:=\left\{(\varphi_V)_{V\subset U}\in\prod_{V\subset U}\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}(U)}(\mathcal{M}(U),\mathcal{N}(U))\mid\operatorname{res}^V_W\circ\varphi_V=\varphi_W\circ\operatorname{res}^V_W\ (W\subset V\subset U)\right\}\\
&=\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}\vert_U}(\mathcal{M}\vert_U,\mathcal{N}\vert_U)
\end{align}
にて定義すると，これは層であり$\mathcal{O}$-加群である．
証明
$\mathcal{O}$-加群構造は略．層になることのみ示す．開集合族$\{U_i\}$に対して$U:=\bigcup_i U_i$とし，$(\varphi_i)_i\in\prod_i\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}\vert_{U_i}}(\mathcal{M}\vert_{U_i},\mathcal{N}\vert_{U_i})$が任意の$j$, $k$に対して$\varphi_j\vert_{U_{jk}}=\varphi_k\vert_{U_{jk}}$を満たすと仮定する．
これの逆像$\varphi\in\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}\vert_{U}}(\mathcal{M}\vert_{U},\mathcal{N}\vert_{U})$がもしも存在するとすると，$V\subset U$と$s\in\mathcal{M}(V)$が与えられたとき，$\varphi(s)$は$(\varphi_i(s\vert_{V\cap U_i}))_i\in\prod_i\mathcal{N}(V\cap U_i)$を貼り合わせたものになっているはずである．これにより$\varphi$の唯一性が従う．さらに$(\varphi_i)_i$が張り合わせ条件を満たすので，$(\varphi_i(s\vert_{V\cap U_i}))_i$も貼り合う．よって$\varphi(s)$はwell-definedである．
$\varphi$が層の射であることを示す．$W\subset V\subset U$, $s\in\mathcal{M}(V)$のとき，$\operatorname{res}^V_W\varphi(s)$と$\varphi\operatorname{res}^V_W(s)$はともに$(\varphi_i(s\vert_{W\cap U_i}))_i\in\prod_i\mathcal{N}(W\cap U_i)$を貼り合わせたものになっている．そういう元は唯一なので$\operatorname{res}^V_W\varphi(s)=\varphi\operatorname{res}^V_W(s)$である．よって$\varphi$は層の射になっている．$\square$
