位相空間の次元

位相空間



定義命題

$X$を$\varnothing$でない位相空間とする．次は同値．

  1. $X$の閉部分集合$X_1$, $X_2$で$\varnothing\neq X_1 \subsetneq X$かつ$\varnothing\neq X_2 \subsetneq X$かつ$X=X_1\cup X_2$となるものが存在しない．
  2. $X$の$\varnothing$でない任意の開部分集合$U$は稠密．
  3. $X$の$\varnothing$でない任意の開部分集合$U$は連結．

上記同値命題を満たすとき，$X$は既約であるという．

証明

1. $\Longleftrightarrow$ 2.
$U_i=X-X_i$とおけば，1.と2.は共に$X$の空でない2つの開部分集合が交わるということを意味する．
2. $\implies$ 3.
$\varnothing\neq U\subset X$を開とし，$V_1, V_2$を$U$の$\varnothing$でない開部分集合とすると，$V_1, V_2$は$X$の開部分集合でもあるので2.より$V_1 \cap V_2 \neq \varnothing$．よって$U$は連結．
3. $\implies$ 2.
対偶を示す．開であって交わらない$U, V\neq\varnothing$をとる．このとき$U \cup V$は$X$の$\varnothing$でない開部分集合であって，連結でない．$\square$

命題

  1. $X$ を既約な位相空間とするとき，$X$の$\varnothing$でない開部分集合$U$もまた既約である．
  2. $X$を位相空間とし$\varnothing\neq Y \subset X$とすると$Y$が既約$\Leftrightarrow$$\overline{Y}$が既約．
証明

1. $U$は$X$内で稠密なので，2. より$U$は既約である．
2. $X$の開部分集合$U$に対して，$U\cap Y\neq\varnothing$と$U\cap\overline{Y}\neq\varnothing$が同値になるので
\begin{align}
&\forall U, V\subset X,\,U\cap Y\neq\varnothing\, \text{and}\ V\cap Y\neq\varnothing\implies U\cap V\cap Y\neq\varnothing\\
&\Longleftrightarrow\forall U, V\subset X,\,U\cap \overline{Y}\neq\varnothing\, \text{and}\ V\cap\overline{Y}\neq\varnothing\implies U\cap V\cap\overline{Y}\neq\varnothing
\end{align}
より従う．$\square$

定義命題

$X$は位相空間とする．$X$が noetherian であるとは次の同値な条件を満たすこと．

  1. すべての開部分集合$U \subset X$はコンパクト．
  2. 閉部分集合からなる空でない族は必ず極小元を持つ．
証明

1. $\implies$ 2.
開部分集合からなる空でない族$\mathcal{V}$があるとし，$\{U_\alpha\}\subset\mathcal{V}$を増大する全順序部分族とすると，$U=\bigcup_\alpha U_\alpha$がコンパクトであることよりある$\alpha_0$を取って$U=U_{\alpha_0}$とできる．Zornの補題より$\mathcal{V}$は極大元を持つ．
2. $\implies$ 1.
$\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$を開集合からなる族とし$U=\bigcup_{\alpha\in A} U_\alpha$とする．$U\neq\varnothing$ならば
$$ \mathcal{V}=\left\{U_{\alpha_0}\cup\cdots\cup U_{\alpha_n}\mid\alpha_0,\ldots\alpha_n\in A\right\}$$
の極大元が$U$に一致する．$\square$

定義命題

$X$を空でない位相空間とする．$X$の空でない既約な閉部分集合のうち極大なものがあれば，それを$X$の既約成分という．次が成立．

  1. $X$の空でない既約な閉部分集合は，必ず$X$のある既約成分に含まれている．
  2. $X$の既約成分は$X$を覆う．
証明

1.
$Y$を$X$の空でない既約な閉部分集合とする．
$$\mathcal{Z} = \left\{ Z \mid \text{ $Y \subset Z \subset X$, 既約かつ閉} \right\}$$
とおけば$Y \in \mathcal{Z}$より$\mathcal{Z} \neq \varnothing$である．
$\mathcal{Z}$の$\varnothing$でない全順序部分集合$\{ Z_\alpha \}_\alpha$があるとき，$Z=\bigcup_\alpha Z_\alpha$とおく．開な$U$, $V$が$Z \cap U \neq \varnothing$かつ$Z \cap V \neq \varnothing$をみたしているとき，$Z_\beta \cap U \neq \varnothing$かつ$Z_\beta \cap V \neq \varnothing$となるような添え字$\beta$が存在する．$Z_\beta$は既約より先の定義命題により$Z_\beta \cap U \cap V \neq \varnothing$である．よって$Z \cap U \cap V \neq \varnothing$であるから再び先の定義命題により$Z$は既約である．したがって先の命題により$\overline{Z} \in \mathcal{Z}$が言えた．Zornの補題より$\mathcal{Z}$には極大元が存在する．
2. 1. において$Y=\overline{\{x\}}$とすればオッケー．$\square$

定義命題

$X$を$\varnothing$でない位相空間とするとき，$n$個の既約閉集合 からなる真上昇列$F_0 \subsetneq F_1 \subsetneq \cdots \subsetneq F_n$が存在するような$n$の上限を$\dim X$で表す．
$x \in X$に対して
$$
\dim_x X = \inf \left\{ \dim U \mid \text{$U$は$x$の開近傍} \right\}
$$
と定義する．このとき，$\varnothing$でない位相空間$X$に対し次が成立する．

  1. $\dim X = \sup_{x \in X} \dim_x X$
  2. 写像 $ x \mapsto \dim_x X$は上半連続である．
  3. $X$ の既約成分が有限個であるとき， $X_1 , \cdots , X_m $ を$X$のすべての既約成分とすると，$$\dim X = \max_{1 \leq i \leq m } \dim X_i$$
  4. $\varnothing\neq Y\subset X$を部分空間とするとき$\dim Y\leq \dim X$
  5. $X$の空でない開集合からなる族$\{U_i\}$が$X$を覆うならば$\dim X=\sup_i \dim U_i$
証明

1.
$x \in X$に対して，定義より，
$$
\dim_x X \leq \dim X
$$
よって$\sup_{x \in X} \dim_x X \leq \dim X$である．$n$個の既約閉集合からなる真上昇列$F_0 \subsetneq F_1 \subsetneq \cdots \subsetneq F_n$が存在するとする．$y$を$F_0$の元とし，$U$を$y$の開近傍とする．先の定義命題より $U \cap F_i$ は 既約かつ $U$ 内で閉である．さらにある$k$で$U \cap F_k = U \cap F_{k+1}$であると仮定する．
\begin{align*}
F_{k+1} &= (U \cap F_{k+1}) \cup (F_{k+1} \setminus U) \\
&= (U \cap F_{k}) \cup (F_{k+1} \setminus U) \\
&= F_{k} \cup (F_{k+1} \setminus U)
\end{align*}
よって$F_{k+1}$を2つの 閉集合 の和$F_k \cup (F_{k+1} \setminus U)$に分解できる．$F_{k+1}$が 既約であることより$F_{k+1} \setminus U = F_{k+1}$となる．これは矛盾．
よって真上昇列$U \cap F_0 \subsetneq U \cap F_1 \subsetneq \cdots \subsetneq U \cap F_n$を得る．$U$は$y$の任意の開近傍であったので，
$$
\dim_y X \geq n
$$
である．よって$\sup_{x \in X} \dim_x X \geq n$より$\sup_{x \in X} \dim_x X = \dim X$ となる．
2.
写像$f \colon X \longrightarrow \mathbb{Z}_{\geq 0}\cup\{\infty\}$を$f(x)=\dim_x X$で定義する．$f$が上半連続であるとは任意の点$x_0 \in X$に対して，
$$
\limsup_{x \rightarrow x_0} f(x) = \inf_{U} \sup_{x \in U} f(x) \leq f(x_0)
$$
が成り立つことをいう．ただし$U$は$x_0$のすべての開近傍を渡る．$U$を$x_0$の開近傍とし，$x$を$U$の任意の点とするとき定義により
$$
\dim_x U \geq \dim_x X
$$
である．このことと1. により，
\begin{align*}
\inf_{U} \sup_{x \in U} f(x)
&= \inf_{U} \sup_{x \in U} \dim_x X \\
&\leq \inf_{U} \sup_{x \in U} \dim_x U \\
&= \inf_{U} \dim U \\
&= \dim_{x_0} X
\end{align*}
よって示された．
3.
既約閉集合 からなる真上昇列$F_0 \subsetneq F_1 \subsetneq \cdots \subsetneq F_n$が存在するとき，$F_n$はどれかの$X_i$に含まれている．
4.
$Y$の真に増大する既約な閉部分集合$F\subsetneq F'$があったとする．$Y$内で取った閉包を$\operatorname{Cl}_Y(-)$, $X$内で取った閉包を$\operatorname{Cl}_X(-)$と書いて区別すると，$\operatorname{Cl}_X(F)$と$\operatorname{Cl}_X(F')$は$X$の既約な閉部分集合である．$F=\operatorname{Cl}_Y(F)=\operatorname{Cl}_X(F)\cap Y$, $F'=\operatorname{Cl}_X(F')\cap Y$より，真の包含$\operatorname{Cl}_X(F)\subsetneq\operatorname{Cl}_X(F')$が成り立つ．
5.
4. より$\sup_i\dim U_i \leq\dim X$が成り立つ．一方$n$個の$X$の既約な閉部分集合からなる真上昇列$F_0 \subsetneq F_1 \subsetneq \cdots \subsetneq F_n$が存在するとする．$i'$を$U_{i'}\cap F_0\neq\varnothing$となるように選べば1. の証明より$n\leq\dim U_{i'}\leq\sup_i\dim U_i$である．よって従う．$\square$