隆起関数

解析


定理

$K \subset U \subset \mathbb{R}^n$かつ$K$はコンパクト，$U$は開集合とする．このときある$f \in C^\infty(\mathbb{R}^n)$で，$0\leq f \leq 1$，$\operatorname{supp} f \subset U$かつ$K$上で常に$1$をとるものが存在する．

証明

$K=\varnothing$または$U=\mathbb{R}^n$のときは成立．以下では$K\neq\varnothing$かつ$U\neq\mathbb{R}^n$とする．

Step 1

$d(K,\mathbb{R}^n\setminus U)>0$を示す($d$は距離)．$\varnothing$でない集合$A$, $B$と，写像$f\colon A\times B \rightarrow \mathbb{R}$に対して$\inf_{x\in A,y\in B}f(x,y)=\inf_{x\in A}\inf_{y\in B}f(x,y)$が成り立つので
\begin{align}
d(K,\mathbb{R}^n\setminus U)&=\inf_{x\in K,y\in\mathbb{R}^n\setminus U}d(x,y)\\
&=\inf_{x\in K}\inf_{y\in\mathbb{R}^n\setminus U}d(x,y)\\
&=\inf_{x\in K}d(x,\mathbb{R}^n\setminus U)
\end{align}
写像$K\in x \mapsto d(x,\mathbb{R}^n\setminus U)$は連続である(証明略)から最小値を持つ．$K$上で常に$d(x,\mathbb{R}^n\setminus U)>0$であれば最小値も正であることが言える．$x_0\in K$が$d(x_0,\mathbb{R}^n\setminus U)=0$を満たすと仮定．ある点列$\{y_m\}_{m\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R}^n\setminus U$で$x_0$に収束するものが取れる．しかし$\mathbb{R}^n\setminus U$は閉集合なので$x_0\in\mathbb{R}^n\setminus U$となって矛盾．よって$K$上で常に$d(x,\mathbb{R}^n\setminus U)>0$が言えた．

Step 2

$\mathbb{R}^n$の$\varnothing$でない2つの部分集合$A$, $B$に対して，
$$A+B:=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}$$
と定義する．$A$がコンパクト集合で$B$が閉集合ならば$A+B$は閉集合であることを示す．$A+B$に属する点列$\{c_m\}_{m\in\mathbb{N}}$で$\mathbb{R}^n$の点に収束するようなものを任意に取る．${c_m=a_m+b_m}$ ($a_m\in A$, $b_m\in B$)と書くと，$A$がコンパクトなので$\{a_m\}_{m\in\mathbb{N}}$の収束部分列$\{a_{m(k)}\}_{k\in\mathbb{N}}$が存在する．このとき$\{b_{m(k)}\}_{k\in\mathbb{N}}$も収束し，$\lim_{m\rightarrow\infty}c_m=\lim_{k\rightarrow\infty}a_{m(k)}+\lim_{k\rightarrow\infty}b_{m(k)}\in A+B$となる．

Step 3

pollymath.hatenablog.com
上の定理の状況下でさらに$\varphi$, $f\geq 0$と仮定し，$\operatorname{supp}(\varphi*f)\subset\operatorname{supp}(\varphi)+\operatorname{supp}(f)$を示す．$(\varphi*f)(x_0)>0$である点$x_0\in\mathbb{R}^n$があるとき，$\varphi*f$の定義により，
$$\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x_0-y)f(y)dy>0$$
である．よって$\varphi(x_0-y_0)>0$かつ$f(y_0)>0$となる点$y_0\in\mathbb{R}^n$が存在する．よって$x_0=x_0-y_0+y_0\in\varphi^{-1}(0,\infty)+f^{-1}(0,\infty)$である．特に$(\varphi*f)^{-1}(0,\infty)\subset\operatorname{supp}(\varphi)+\operatorname{supp}(f)$が成り立つ．Step 3より$\operatorname{supp}(\varphi)+\operatorname{supp}(f)$は閉集合であるから，$\operatorname{supp}(\varphi*f)\subset\operatorname{supp}(\varphi)+\operatorname{supp}(f)$となる．

Step 4

$\varepsilon:=d(K,\mathbb{R}^n\setminus U)/100$とし$K+B_\varepsilon(0)$の特性関数を$f$とする．ただし$B_\varepsilon(0)$で中心$0$，半径$\varepsilon$の閉球を表す．また$X\subset\mathbb{R}^n$の特性関数とは$X$上で$1$，それ以外で$0$をとる写像であるとする．$K+B_\varepsilon(0)$は有界でStep 2により閉集合であるからコンパクトである．よって$f\in L_1(\mathbb{R}^n)$である．
$\mathbb{R}^n$上の別の関数$\varphi$を
\begin{align}
\varphi(x)=
\begin{cases}
e^{-\frac{1}{1-|x/\varepsilon|^2}} & |x/\varepsilon|<1\\
0 & |x/\varepsilon|\geq 1
\end{cases}
\end{align}
で定義するとこれは$B_\varepsilon(0)$を台に持ち$C^\infty$-級である(証明略)．新しく$\tilde{\varphi}:=\varphi/\int_{\mathbb{R}^n}\varphi$とおく．先の軟化子の定理により$\tilde{\varphi}*f$は$C^\infty$-級で常に$0\leq\tilde{\varphi}*f\leq 1$である．さらにStep 3により$\operatorname{supp}(\tilde{\varphi}*f)\subset K+B_{2\varepsilon}(0)\subset U$である．最後に$K$上で常に$1$をとることを示す．$x_0\in K$のとき
\begin{align}
(\tilde{\varphi}*f)(x_0)&=\int_{\mathbb{R}^n}\tilde{\varphi}(x_0-y)f(y)dy\\
&=\int_{\mathbb{R}^n}\tilde{\varphi}(y)f(x_0-y)dy\\
&=\int_{B_\varepsilon(0)}\tilde{\varphi}(y)f(x_0-y)dy\\
&=\int_{B_\varepsilon(0)}\tilde{\varphi}(y)dy\\
&=1
\end{align}
$\square$