軟化子

定理

コンパクト台を持つ$\varphi\in C^1 (\mathbb{R}^n)$と，任意の$f\in L_1(\mathbb{R}^n)$に対して，
$$(\varphi*f)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x-y)f(y)dy$$
は連続かつ1階偏微分可能で
$$\frac{\partial}{\partial x_i}(\varphi*f)(x)=(\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}*f)(x)$$

証明

$0$に収束する任意の点列$\{h_m\}_{m\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R}\setminus\{0\}$をとる．
\begin{align}
&\frac{1}{h_m}\{(\varphi*f)(x_1,\ldots,x_i+h_m,\ldots,x_n)\\
&\quad-(\varphi*f)(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n)\}\\
&=\int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{h_m}\{\varphi(x_1-y_1,\ldots,x_i+h_m-y_i,\ldots,x_n-y_n)\\
&\quad-\varphi(x_1-y_1,\ldots,x_i-y_i,\ldots,x_n-y_n)\}f(y)dy
\end{align}
平均値の定理より，$x$, $y$, $h_{m}$に依存する$c\in\mathbb{R}$が存在して
\begin{align}
&\left|\frac{1}{h_m}\{\varphi(\ldots,x_i+h_m-y_i,\ldots)-\varphi(\ldots,x_i-y_i,\ldots)\}f(y)\right|\\
&\quad =\left|\varphi'(\ldots,x_i+c-y_i,\ldots)f(y)\right|
\end{align}
が成り立つ．$\varphi$がコンパクト台をもちかつ$C^1$-級なので，$\varphi'$もコンパクト台を持ちかつ連続である．よって$\mathbb{R}^n$上で有界である．$x$, $y$, $h_{m}$に依存しない$M \geq 0$が存在して
\begin{align}
&\left|\varphi'(\ldots,x_i+c-y_i,\ldots)f(y)\right|\leq M|f(y)|
\end{align}
が成り立つ．優収束定理より
\begin{align}
&\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{h_m}\{\varphi(\ldots,x_i+h_m-y_i,\ldots)\\
&\quad-\varphi(\ldots,x_i-y_i,\ldots)\}f(y)dy\\
&=\int_{\mathbb{R}^n}\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}(x-y)f(y)dy\\
&=(\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}*f)(x)
\end{align}
である．$\{h_m\}_{m\in\mathbb{N}}$のとり方は任意だったので，
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x_i}(\varphi*f)(x)=(\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}*f)(x)
\end{align}
が成り立つ．$\square$