なめらかな関数の延長定理
定理
$I$を$\mathbb{R}$の開区間とし$a\in I$とする．$g\colon I\setminus\{a\}\rightarrow\mathbb{R}$を$C^\infty$-級関数とするとき次は同値：
- $g(x)$は$x=a$で連続になるよう延長できて，このとき$I$全体で$C^\infty$-級になる．
- $\forall m\geq 0$に対して$g^{(m)}(x)$は$x=a$で連続になるよう延長できる．
証明
$2. \implies 1.$ 略
$1. \implies 2.$ 帰納法で示す．まず1.より$g(x)$は$x=a$で連続になるよう延長できる．$g^{(m)}(x)$ ($m\geq 0$)が$x=a$において値が存在して連続であることまで言えていると仮定して$m+1$のとき考える．1.とロピタルの定理により
$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{g^{(m)}(x)-g^{(m)}(a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}g^{(m+1)}(x)$$
が成り立つ．なお上式の極限は収束する．よって$g^{(m+1)}(a)$は存在してさらに
$$g^{(m+1)}(a)=\lim_{x\rightarrow a}g^{(m+1)}(x)$$
が言えたので，$g^{(m+1)}(x)$が$x=a$において連続であることも分かる．$\square$
